calculo numerico interpolacao

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C ALCU
LO N U M ERICO
: Lista 6
Interpolac˜
ao
Profa. Susana
1. Em cada fun¸ca˜o abaixo determine uma aproxima¸ca˜o para f (z) e uma cota superior do erro cometido usando interpola¸ca˜o de Lagrange, de Newton e a fun¸ca˜o spline linear interpolante.
(a). f (x) = log x , z = 2.35 , f (1) = 0, f (2) = 0.3010, f (3) = 0.4771
(b) f (x) = e−x , z = 2.5 , f (2) = 0.13, f (3) = 0.04, f (4) = 0.01
(c).f (x) = f (x) = 3x , z = 0.4, f (0) = 1, f (0.5) = 1.732, f (0.25) = 1.316
2. A equa¸ca˜o f (x) = x − 9−x , tem uma solu¸ca˜o no intervalo [0, 1].
(a) Ache o polinˆomio interpolante com x0 = 0 , x1 = 0.5 , x2 = 1.0.
(b) Igualando esse polinˆomio a zero e resolvendo a equa¸ca˜o correspondente, calcule uma aproxima¸ca˜o para a raiz de f (x) em [0, 1].
3. Dada a tabela da popula¸ca˜o de uma vila no in´ıcio de cada ano, estimar a popula¸ca˜o na metade de 1973, usando o polinˆomio de Newton. ano 1970 1971 1972 1973 1974 popula¸ca˜o 6000 6200 6600 7200 8000
4. Dada a fun¸ca˜o f (x) = (x + 1)−1 , calcule uma aproxima¸ca˜o para f (0.8),utilizando o polinˆomio de Newton sabendo que f (0) = 1, f (0.5) = 0.667, f (1) = 0.5.Dar um limitante superior do erro de truncamento.
5. Construa a tabela de diferen¸cas divididas com os dados x 0.0
0.5
1.5
2
2.5
3.5
f (x) −2.78 −2.241 −1.65 −0.594 1.34 4.564
(a) Estime o valor f (1.7) da melhor maneira poss´ıvel, de forma que se possa estimar o erro cometido. (b) Justifique o grau do polinˆomio que vocˆe escolheu para resolver o item (a).
6. Considere a tabela abaixo. Usando um polinˆomio interpolador de grau 3 determine x tal que f (x) = 2.3. Justifique a escolha do processo. Pode dar uma estimativa do erro cometido?
Justifique. Caso afirmativo, calcula-lo. x 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f (x) 1.0 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183
7. Considere a tabela: x 0 1.2 2.3 3.1 3.9 f (x) 0 1.5 5.3 9.5 10

Dˆe uma aproxima¸ca˜o para a raiz da equa¸ca˜o f (x) = 2 usando interpola¸ca˜o quadr´atica. Tente
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