Calculo 3

ETAPA 1
Passo 1
Integral Definida
Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

S é a integral da função , no intervalo entre a e b. é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.
Intuitivamente a integral de pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma.

A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite da somatória de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por . O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann.

Onde:

Comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números .

E

Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral , definido como um ponto que está no subintervalo , podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo.

Integral Indefinida
Se a derivada da função F é a função f, dizemos que F é uma primitiva ou antiderivada de f. Como a derivada de x2 é 2x dizemos que x2 é uma primitiva de 2x.
De fato se c é um a constante qualquer, temos: ddx=x2+c=2x+0=2x De modo que qualquer função de forma x2 + c é uma primitiva de 2x. A função f(x)=2x tem uma família de primitivas. Esses conjuntos de primitivas constituídos de uma família que diferem pela constante recebe o nome de Integral Indefinida da função f e é indicada por: Em resumo escrevemos a seguinte expressão:

∫ f(x) dx = F (x) + C Onde c é um número real