Calculando probabilidades

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Calculando probabilidades
evento E é: P(E) =

Introdução

V

ocê já aprendeu que a probabilidade de um

nº de resultados favoráveis nº total de resultados possíveis

Nesta aula você aprenderá a calcular a probabilidade de ocorrência de um evento e outro, bem como a ocorrência de um ou outro evento. Em muitas situações a ocorrência de um fato qualquer dependeda ocorrência de um outro fato; nesse caso dizemos que são ocorrências dependentes. Em situações onde não há essa dependência, precisamos calcular probabilidades de duas situações ocorrerem ao mesmo tempo. Para abordarmos situações como as que acabamos de descrever, utilizaremos vários exemplos durante esta aula. Leia-os com bastante atenção e procure refazer as soluções apresentadas.

Nossaaula

Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de outro
EXEMPLO 1 Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é 1 . Nesse mesmo grupo, a 5 5 probabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é 6 . Qual a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol? Solução: O fatode ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes. Considere então os eventos: A: B: A e B: ter média acima de 7,0. saber jogar futebol. ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.

1 Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 5 5 5 5 1 1 têm média acima de 7,0 e 6sabem jogar futebol. Ora, 6 de 5 , ou seja, 6 · 1 = 6 , 5 1 sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 6 .

A U L A

Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro): P (A e B) = P (A) · P (B)

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EXEMPLO 2 Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 sãocanhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho? Solução: Considere os eventos: A : ser canhoto B : ir de ônibus para o trabalho É claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente écalculada por P (A e B) = P (A) · P (B). Calculando: P (A) =

10 1 = 30 3 25 5 = 30 6 1 5 5 · = 3 6 18

P (B) =

P (A e B) = P (A) · P (B) =

5 A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 18 .

EXEMPLO 3 Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas: natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta 4escolhido ao acaso termine a primeira etapa (natação) é 7 . Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é 3 . Qual a probabilidade de 4 que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a primeira e a segunda etapas? A U L A

Solução: A : terminar a 1ª etapa da prova (natação). B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1ª. Note que A e B não são eventos independentes pois, para começar a 2ª etapa é necessário, antes, terminar a 1ª. Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B depende (está condicionada) à ocorrência do evento A. Utilizamos então a notação B/A, que significa adependência dos eventos, ou melhor, que o evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso deste exemplo, temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação). E agora? Como calcular P (A e B)? É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A....
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