Bacharel

Cadeias de Markov
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi 22 de mar¸co de 2006
Vamos supor que uma popula¸c˜ao ´e dividida em trˆes estados (por exemplo: ricos, classe m´edia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudan¸ca de um estado para outro seja constante no tempo, s´o dependa dos estados. Este processo ´e chamado cadeia de Markov.
Seja tij a probabilidade de mudan¸ca do estado j para o estado i em uma unidade de tempo (gera¸c˜ao). Cuidado com a ordem dos ´ındices. A matriz
2
3 
 1
1
t11 t12 t13


2
T = t21 t22 t23
3
t31 t32 t33
´e chamada matriz de transi¸c˜ ao. A distribui¸c˜ao da popula¸ca˜o inicial entre os trˆes estados pode ser descrita pela seguinte matriz:

 p1 P 0 =  p2  p3 est´a no estado 1 est´a no estado 2 est´a no estado 3

A matriz P0 caracteriza a distribui¸c˜ao inicial da popula¸ca˜o entre os trˆes estados e ´e chamada vetor de estado. Ap´os uma unidade de tempo a popula¸ca˜o estar´a dividida entre os trˆes estados da seguinte forma

 t11 p1 + t12 p2 + t13 p3
P1 =  t21 p1 + t22 p2 + t23 p3  t31 p1 + t32 p2 + t33 p3
1

estar´a no estado 1 estar´a no estado 2 estar´a no estado 3

2

1

MATRIZES

Lembre-se que tij ´e a probabilidade de mudan¸ca do estado j para o estado i. Assim a matriz de estado ap´os uma unidade de tempo ´e dada pelo produto de matrizes:
P1 = T P0 .

1

Matrizes

Exemplo 1. Vamos considerar a matriz de transi¸ca˜o
 11

T = 

2
1
2

0

2
1
4
1
2
1
4

3 
0
1
1 
2
2 
1
3

(1)

2

e o vetor de estados inicial

P0 = 

1
3
1
3
1
3




est´a no estado 1 est´a no estado 2 est´a no estado 3

(2)

que representa uma popula¸c˜ao dividida de forma que 1/3 da popula¸c˜ao est´a em cada estado. Ap´os uma unidade de tempo a matriz de estado ser´a dada por
 1
 1   1 
1
0
2
4
3
4

 1 
1