Aula 14 1
533 palavras
3 páginas
CÁLCULO IAna Helena de Campos
1º semestre de 2013
Aula 14
Diferenciais
f(x)
f(x+x)
f
f(x) x x+x
x
x
f: variação da função f(x) correspondente a uma variação x da variável x.
f(x)
f(x+dx)
df: variação da reta tangente no ponto x da função f(x) correspondente a uma variação dx da variável x.
df f(x) x
x+dx dx x
tg =
f(x)
f(x+dx)
f ’(x) =
df
df dx df dx df = f ’(x)dx
f(x) x x+dx dx x
df: diferencial da função f(x)
A derivada pode ser considerada como um quociente entre duas diferenciais df: diferencial da função f(x)
f(x)
f(x+dx)
Quanto menor for dx, mais df se aproxima de f
f
df f(x) x
x+dx
x
Quando isso acontece é possível aproximar a variação da função perto do ponto pela variação da reta tangente.
Aproximações Lineares
Objetivo: aproximar uma função f, numa vizinhança de um ponto a, por uma função do 1o grau L(x).
L(x) é a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto a f(x) L( x ) L(a ) L´(a )( x a )
f(x)
f(a) = L(a)
L(x)
f ’(a) = L’(a)
f ´(a )( x a ) f ( x ) f (a ) f ´(a )( x a )
Linearização de f em a
a
x
Exemplo de linearização de função
Encontre a linearização da função
Use essa linearização para calcular
3,98
e
4,05
f (x) x
em a=4.
Exemplo f (x) x f (4,05) 4,05 ?
y
Linearização da função
x
f ( x ) f (a ) f ´(a )( x a ) x f ( x ) 1, proximo a 4
4
f (4,05) 2,0125
Exemplo f (x) x
df f ´(x )dx;
f (4,05) 4,05 ?
f (4,05) f (4 0,05) f (4) df f (4) f ´(4) * 0,05 f (4) 2;
Diferencial da função
e
f (a dx ) f (a ) df
f ´(4) 0,25
f (4,05) 2 0,25 * 0,05 2,0125
?=f(4+0,05) f(4) y
ZOOM
df
x
...
...
4
4+0,05
Custo Marginal
Função Custo: C(x) – custo total que uma companhia tem ao produzir x unidades de um certo produto.
Se o número de itens aumenta de x1 para x2, o custo adicional será de
ΔC=C(x2)- C(x1), e a taxa de variação média do custo será: