Aula 12

Se¸˜o 12: Equa¸˜es Diferenciais Lineares n˜o Homogˆneas ca co a e de Coeficientes Constantes

O objetivo desta se¸˜o ´ estudar as equa¸˜es lineares n˜o homogˆneas de coeficientes consca e co a e tantes. No entanto, a vers˜o do Prinic´ a ıpio de Superposi¸˜o que apresentamos a seguir ´ v´lida ca ea para equa¸˜es de coeficientes quaisquer. co Teorema (Prinic´ ıpio de Superposi¸˜o). Consideremos uma equa¸ao diferencial ordin´ria ca c˜ a de 2a ordem y + f (t)y + g (t)y = r(t) .
(1)
Se yp (t) ´ uma solu¸ao particular da equa¸ao n˜o homogˆnea (1) e se y0 (t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t) e c˜ c˜ a e ´ a solu¸ao geral da equa¸ao homogˆnea associada e c˜ c˜ e y + f (t)y + g (t)y = 0,

(2)

y = y0 + yp = y0 + C1 y1 + C2 y2

(3)

ent˜o a ´ a solu¸ao geral da equa¸ao n˜o homogˆnea (1). e c˜ c˜ a e Demonstra¸˜o: Consideremos o operador diferencial ca L(y ) = y + f (t)y + g (t)y .
Suponhamos que conhecemos uma solu¸˜o particular yp da equa¸˜o n˜o homogˆnea (1) e que ca ca a e conhecemos tamb´m a solu¸˜o geral y0 = C1 y1 + C2 y2 da equa¸˜o homogˆnea associada (2). e ca ca e
Ent˜o,
a
L(yp ) = r(t) e L(y0 ) = 0.
Formamos y = y0 + yp . Ent˜o, a L(y ) = L(y0 + yp ) = L(y0 ) + L(yp ) = 0 + r(t) = r(t).
Portanto, as fam´ de fun¸˜es (3) s˜o solu¸˜es da equa¸˜o n˜o homogˆnea (1). ılia co a co ca a e Reciprocamente, se y ´ uma solu¸˜o qualquer da equa¸˜o n˜o homogˆnea (1), definindo y0 e ca ca a e por y0 = y − yp , temos que y0 ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o homogˆnea (2). De fato, e ca ca e
L(y0 ) = L(y − yp ) = L(y ) − L(yp ) = r(t) − r(t) = 0 .
Portanto existem constantes C1 e C2 tais que y0 = y − yp = C1 y1 + C2 y2 .
Portanto, (3) ´ a fam´ de todas as solu¸˜es da equa¸ao n˜o homogˆnea (1). e ılia co c˜ a e Exemplo 1. Resolva o problema de valor incial y + 3y + 2y = 5 y (0) = −1 , y (0) = 3

(4)

A equa¸˜o caracter´ ca ıstica λ2 + 3λ + 2 = 0 tem ra´ λ1 = −2 e λ2 = −1. Duas solu¸˜es L.I. da equa¸˜o homogˆnea associada s˜o y1 = e−2t ızes co ca e a −t . Precisamos encontrar uma solu¸˜o particular y da