Atps matematica financeira 2012/2

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Etapa 1

Passo 1

Juros simples (lineares) Conceitos Fundamentais

A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. O valor do montante de uma dívida pode ser calculado de forma linear e muitas vezes até de maneira intuitiva.

Aspectos envolvidos: Valor Presente (PV) ou Principal (P)

Valor Futuro (FV) ouMontante (M)

Prazo (n)

Fator de Variação (FDV)

Juros (J)

Taxa de Juros (i)

Considere a situação abaixo para a compreensão dos conceitos:

Aplicou-se R$ 1.000,00 por um prazo de 30 dias, ou 1 mês, remunerado a 3% ao mês. Vencido o prazo de aplicação, resgatou-se R$ 1.030,00.



Fator de Variação

Fórmula : FDV = FV / PV => Variação entre os valores

No exemplo : FDV= R$ 1.030,00 / R$ 1.000,00 = 1,030



Juros (J)

Fórmula : J = FV – PV

No exemplo : J = R$ 1.030,00 – R$ 1.000,00 = R$ 30,00

Taxa de Juros (i)

Fórmula : i = (J / PV) * 100 = ((FV – PV) / PV) * 100

No exemplo : i = ((R$ 1.030,00 - R$ 1.000,00) / R$ 1.000,00) * 100 = 3%



Juros Simples (Js)

Fórmula : Js = PV * i * n

No exemplo : Js = R$ 1.000,00 * 0,03 * 1 = R$ 30,00Note-se que se i é dado em mês, n deve estar na mesma base.

Note-se também que i deve ser considerada em número puro e não em percentual, portanto, i = 3% = 3 / 100 = 0,03



Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

Fórmula : M = P + J, ou

M = P + (P * i * n), então

M = P * (1 + i * n)

No exemplo : M = R$ 1.000,00 * (1 + 0,03 * 1) = R$ 1.000,00 * 1,03 = R$ 1.030,00Considerações:

As taxas de juros (i) são sempre expressas por unidade de tempo. Portanto, devem estar em consonância com a unidade de tempo do prazo (n).

Por exemplo : 10% ao ano por um prazo de 15 anos; 2% ao mês por um prazo de 6 meses.

Frequentemente é necessário converter ou a taxa ou o prazo.

Por exemplo : 10% ao ano durante 18 meses. Considere n = 18 meses / 12 meses = 1,5ano ou i = 10% ao ano / 12 meses = 0,8334% ao mês.

Outro exemplo: 2% ao mês durante 10 dias. Considere n = 10 dias / 30 dias = 0,334 mês ou i = 2% ao mês / 30 dias = 0,0667% ao dia.

Exemplo : Empresta-se R$ 2.000,00 a uma taxa de 8% ao ano (a.a), durante 30 meses. Qual é o montante no final do período?

PV = R$ 2.000,00; i = 8% a.a.; n = 30 meses; M = ?

Consideração 1 :Transformar i de % para número puro => i = 8 / 100 = 0,08

Consideração 2 : Transformar i anual para mensal => i = 0,08 / 12 = 0,00667 a.m. ou transformar n mensal para anual => N = 30 / 12 = 2,5 anos

(1) => M = PV * (1 + i * n) = R$ 2.000,00 * (1 + 0,00667 * 30) = R$ 2.400,00

(2) => = R$ 2.000,00 * (1 + 0,08 * 2,5) = R$ 2.400,00





Juros compostos (exponenciais) ConceitosFundamentais

No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor Presente P, mas com uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período a período. Essas correções são sobrepostas e sucessivas por ‘n períodos’ em função de uma taxa de juros contratada.

Ao contrário do Juros Simples, o JC acumula o juros do período ao capital paracálculo dos juros do período seguinte.

Fórmulas : FAC = (1 + i ) n

M = P * FAC = P * ( 1 + i ) n

P = M / FAC = M / ( 1 + i ) n

VF = VP * FAC = VP * ( 1 + i ) n

VP = VF / FAC = VF / ( 1 + i ) n

J = VF – VP = M - P

Onde : FAC = Fator de Acumulação de Capital

M = Montante

VF = Valor Futuro

P = Principal

VP = Valor Presente

i = Taxa de Juros

n = Período deAplicação

J = Juro

Exemplos : Aplica-se hoje R$ 1.000,00 a 5% a.m.. Qual o montante ao final de 1 ano ?

P = 1.000, i = 5% a.m. = 0,05, n = 1 ano = 12 meses, M = ?

M = 1.000 * ( 1 + 0,05 ) 12 = 1.000 * ( 1,05 ) 12 = 1.000 * 1,79586 = R$ 1.795,86

Vinicius pretende, dentro de 5 meses, se matricular num curso de especialização em plataformas de artes gráficas, games e afins,...
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