Atividade aberta 1 - Cálculo II

CÁLCULO II
Atividade Aberta 1 – 8 pontos
Resolução

Questão 1

O gráfico da derivada de uma função f está mostrado abaixo.

Com base nas informações desse gráfico: (a) determine os intervalos em que a função é decrescente. Justifique sua escolha; (b) indique para que valores de x a função tem um máximo ou um mínimo local; justifique sua escolha: (c) indique para que valores de x o gráfico de tem concavidade voltada para cima; justifique sua escolha; (c) no mesmo sistema da figura, esboce um possível gráfico da função , considerando que e .

Solução

a) A função é decrescente para , intervalo em que sua derivada é negativa.
b) A função tem um máximo local em , ponto em que a derivada passa de positiva para negativa.
A função tem um mínimo local em , ponto em que a derivada passa de negativa para positiva.
c) A função derivada é crescente se . Isso significa que a derivada segunda é positiva para e, em consequência, o gráfico de tem concavidade voltada para cima quando .
d) Na figura está um possível gráfico de , passando pelos pontos e .

Questão 2
Na figura abaixo, estão o gráfico da função e o de sua derivada .

Com base nessas informações: (a) marque na figura acima o gráfico de e o gráfico de ; (b) indique em que intervalo a função é crescente e justifique sua indicação; (c) escreva a equação da tangente à curva no ponto de abscissa ; (d) determine as coordenadas do ponto do gráfico de em que a tangente é horizontal.

Solução
a) Conforme assinalado na figura, o gráfico de tem concavidade voltada para baixo e o gráfico de , concavidade voltada para cima.
b) A derivada de f é a função .

A função é crescente é crescente para , intervalo em que .

c) A equação da tangente à curva no ponto de abscissa é da forma . Como , a equação da tangente fica .
d) A tangente ao gráfico de é horizontal no ponto que .

Desse modo, as coordenadas do ponto em que o gráfico de tem tangente horizontal são .

Questão 3
Uma