Apostila de calculo iii

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CURSOS: Engenharia Civil e Engenharia de Produção PROFESSORA: Sabrina Arsego Miotto SEMESTRE: 2012/02 E-MAIL: sabrina.arsego@fsg.br

CÁLCULO III

1

Seja bem-vindo!

O foco do nosso estudo esse semestre são as equações diferenciais. Para isso, faz-se necessário o domínio das técnicas de integração. Portanto, faremos inicialmente uma retomada dos principais tópicos vistos no semestrepassado e após abordaremos o tema central da nossa disciplina.

A seguir, temos um pensamento de Goethe:

“Quando uma criatura humana desperta para um grande sonho e sobre ele lança toda a força de sua alma, todo o universo conspira a seu favor”.

Inspire-se nessa frase e faça acontecer o seu sonho de tornar-se engenheiro. Conte comigo!!!

2

INTEGRAIS E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO INTEGRALINDEFINIDA
Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de uma função f(x) se F ' ( x ) = f ( x ) para qualquer x no domínio de f. O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x, denotada por

∫ f (x )dx .


a)

é o símbolo de uma integral. A função f é o integrando de uma integral e x é a variável de integração.

Exemplos: 1) Calcule as integrais:

∫ 2dx∫
1
3

b)

dx

x

c)

∫e

( x −2)

dx

d)

∫ sen(2x )dx

e)

∫x

2x
2

+4

dx

f)

∫ (x + 1) xdx
2 4

g)

∫ xsen( x )dx

h)

∫x

2

cos(3 x )dx

3

Exercícios: 1) Calcule a integral de: a)

∫ b) ( x + 5 x + 6)dx ∫ c) (senx + x )dx ∫ 3s + s + 1 d) ∫ s dx e) e dx ∫ 1  f) cos x dx ∫ 3 
3dx
2
2 5

3x

∫ 7x − 1dx h) ∫ x − 1xdx xdx i)∫ 1 − x dx j) xe dx ∫ l) x sec xdx ∫ m) (x − 5 x )e dx ∫
g)
2
2
−x

2

2

x

Gabarito:
a)

3x + C
x 3 5x 2 + + 6x + C 3 2

g)

2 21

(7 x − 1)3

+C

b)

h)

1 3

(x

2

−1

)

3

+C

x2 +C 2 3 1 1 − 3 − +C d) − 2 2s 3s 4s 4 1 e) e 3 x + C 3 1  f) 3sen  x  + C 3 
c) − cos x +

i) − 1 − x 2 + C j) − xe − x − e − x + C l) xtgx + ln cos x + C m) x 2 −7 x + 7 e x + C

(

)

INTEGRAL DEFINIDA
Definição: Dizemos que uma função f é Riemann Integrável ou, simplesmente, integrável em um intervalo finito e fechado [a,b], se o limite


a

b

f ( x )dx =

max ∆x k →0

lim

∑ f (x
k =1

n

* k

)∆x k

* existir e não depender da escolha da partição ou dos pontos x k no subintervalo.

1º TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: Sef for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então

∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)
a

b

Exemplos: 1) Calcule as integrais: a)

∫ (x
1

2

2

+ 4)dx

4

b)

∫ x( x
0

2

2

+ 1) 3 dx

π

c)

∫ sen (2x )cos(2x )dx
5 0

8

Exercícios: 1) Calcular as integrais indicadas: a)

∫ ∫
1 0 0 2

5

4 dx x+4 e 4 x dx

e)

−1



1x2 x3 + 9

dx

π

b)

f)


0

4

tgx sec 2 xdx
9

π
3

c)

−1 ln 3

∫ (1 − 2x ) dx
−ln 3

g)

π

∫ sec
dx

2

3θdθ

d)

∫e

e
x

x

+4

dx

h)

∫ x + e dx
0

12 e

Gabarito: a) 8 ln 3 − 8 ln 2 ≅ 3,24
b)

e)

2 4 10 − 2 ≅ 0,22 3 3 2 ≅ 0,67 3 1 1 3 − ≅ 0,24 3 3

1 8 1 4 e − e ≅ 731,59 4 4

f)

c) 10 d) ln 7 + ln 3 − ln 13 ≅ 0,48g)

h) ln 2 ≅ 0,69

5

O USO DE TABELAS DE INTEGRAIS
As tabelas de integrais são muito úteis quando nos deparamos com uma integral que é difícil de calcular manualmente e não temos acesso a um sistema de computação algébrica. Devemos nos lembrar, contudo, que as integrais frequentemente não ocorrem da maneira exata como foram listadas nas tabelas. Geralmente temos de usar substituições oumanipulações algébricas para transformar a integral dada em uma das formas da tabela. Exemplos: 1) Use a Tabela de Integrais para calcular: a)

∫ sen(7x ) cos(2x )dx ∫ x senxdx
3

b)

c)





2 − x2 dx x

d)

x − 4 x 2 dx

e)

∫  x

1
2

+1

+

  dx x − 2x + 5 
1
2

Exercícios: 1) Utilize a Tabela de Integrais para calcular as integrais propostas: 3x...
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