Apb2

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SEGUNDA AVALIAÇÃO PARCIAL DO SEGUNDO BIMESTRE 2011

Q1.

A relação x  y mod n significa r(x,n) = r(y,n), então:
a)
x  y mod 31 para x = 64 e y = 95 pois temosresto igual a 2 nos dois casos.
b)
x ≢ y mod 31 para x = 64 e y = 96 pois temos restos diferentes, um igual a 3 e o outro igual a 2.

Q2.

2. Sejam n, u e vinteiros maiores que 1, com u e v primos entre si, e a um inteiro qualquer. Prove que se au  1 mod n e av  1 mod n, então a  1 mod n (um ponto).
Se au  1 mod n e av  1mod n então n | au , n | 1 e n | av

Q3.

a)
Para a relação ser antissimétrica temos que, se x  y mod n então y ≢ x mod n a não ser que x = y. Um comtra-exemploseria x = 3 e y = 5 com n = 3.
r(3,3) = 0 e r(5,3) = 2, porém r(3,5) = 3.
3 = 5*0 + 3
b)
Seja x e y pertencentes a N, para esta relação ser total então x  y mod n OUy  x mod n.
Porém, podemos ter essas duas relações simultaneamente, por exemplo em:
7  5 mod 2 não impossibilita 5  7 mod 2; as duas relações são verdadeiras semprecisar excluir uma das relações.

Q4.

Sendo a = 2,b = 3,c = 4 e n = 8 mostramos que se c e n não são primos, então não podemos garantir que esta propriedade decongruencia seja válida, pois
2.4  5.4 mod 4 não pode ser transfromada em 2  5 mod 4.

Q5.

(x + 100) . 31 para x = 57
(57 + 100). 31 = 157 . 31 = 4867
como emZ173 os algarismos começam em 0,1,2,...,171,172 e recomeça em 173=0, 174=1 e assim por diante, então podemos fazer
y = (x + 100) . 31 com y = 4867 para x = 57.
o restode y divido por 173 é igual ao número a qual ele equivale, logo:
4867 = 173*28 + r
r = 4867 - 4844
r = 23
Logo, o número 4867 corresponde ao número 23 em Z173.
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