Análise Cambinatória

Anlise Combinatria - GABARITO 1. Calcule quantos mltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos um nmero divisvel por 3). Soluo. Precisamos selecionar quatro algarismos cuja soma seja mltiplo de 3 - soma 21 2,4,6,9 4 x 3 x 2 x 1 24 nmeros distintos. - soma 18 2,3,4,9 4 x 3 x 2 x 1 24 nmeros distintos. - soma 15 2,3,4,6) 4 x 3 x 2 x 1 24 nmeros distintos. Logo, h no total 24 24 24 72 nmeros possveis. 2. Seis times de futebol, entre os quais esto A e B, vo disputar um campeonato. Suponha que na classificao final no existam empates. Um indivduo fez duas apostas sobre a classificao final. Na primeira, apostou que A no seria campeo na segunda, apostou que B no seria o ltimo colocado. Em quantas das 720 classificaes possveis esse indivduo ganha as duas apostas Soluo. Para que ganhe as duas apostas, as duas situaes devem ocorrer. Uma forma de pensar calcular as situaes ocorrendo e subtrair do total. Isto trabalhamos com o complementar i) A campeo fixamos A na 1 colocao A _ _ _ _ _ H 5 120 possibilidades para o restante. Repare que B pode em alguma delas ocupar a ltima posio. ii) B o ltimo fixamos B na 6 colocao _ _ _ _ _ B H tambm 5 120 possibilidades. Repare que A pode ocupar a 1 posio em algumas das possibilidades. iii) A campeo e B o ltimo A _ _ _ _ B H 4 24 possibilidades. Essa situao a interseo dos dois casos anteriores. Logo, o nmero de possibilidades de ganha na aposta 720 (120 120 24) 720 216 504 possibilidades. 3. Dos 33 alunos da M37, seis sero escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antnio, Felipe, Camila e Milena s iro se forem juntos de tal forma que Camila e Milena vo sentar lado a lado e o Antnio e o Felipe nunca iro sentar lado a lado mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar Soluo. O nmero de permutaes de n em uma roda dado por (n 1) chamada PERMUTAO CIRCULAR (PC). Podemos formar a mesa das seguintes