analise matricuial de estruturas

Análise Matricial de Estruturas
Análise Linear Elástica
Objetivo:
- Apresentar a estrutura matemática de um programa de elementos finitos.
- Discutir alguns aspectos gerais na programação do método dos elementos finitos

Elemento de treliça Y

t

r

EA
L
I

J

θ
X

E – Módulo de Elasticidade
A – Área da Seção Transversal
L – Tamanho do Elemento

Deslocamentos Nodais
Sistema Local:

⎛u I ⎞
⎜ r ⎟
⎜ I⎟
⎜ ut ⎟
UeL = ⎜
⎟
⎜ u rJ ⎟
⎜ ⎟
⎜u J⎟
⎝ t ⎠
0
0 ⎞
⎛ cos( θ) sin( θ)
⎜
⎟
0
0 ⎟
⎜ −sin( θ) cos( θ)
R=
⎜ 0
0
cos( θ) sin( θ) ⎟
⎜ 0
⎟
0
−sin( θ) cos( θ) ⎠
⎝

Sistema Global:

⎛u I ⎞
⎜ x ⎟
⎜ I⎟
⎜ uy ⎟
Ue = ⎜
⎟
⎜ uxJ ⎟
⎜ ⎟
⎜u J⎟
⎝ y ⎠

UeL = R⋅ Ue
T

Ue = R ⋅ UeL

Deformações
Alongamento das barras:

J

I

δe = u r − u r

ou na forma matricial

UeL = R⋅ Ue
Operador de deformação: B e δe = BeL⋅ UeL = Be⋅ Ue

Be = BeL⋅ R

⎛u I ⎞
⎜ r ⎟
⎜ I⎟
⎜ ut ⎟ δe = ( −1 0 1 0 ) ⋅ ⎜
⎟
⎜ u rJ ⎟
⎜ ⎟
⎜u J⎟
⎝ t ⎠

0
0 ⎞
⎛ cos( θ) sin( θ)
⎜
⎟
0
0 ⎟
⎜ −sin( θ) cos( θ)
Be = ( −1 0 1 0 ) ⋅
→0
⎜ 0
0
cos( θ) sin( θ) ⎟
⎜ 0
⎟
0
−sin( θ) cos( θ) ⎠
⎝
Relação Constitutiva - Elasticidade linear :
E⋅ A

Fe

E⋅ A

Fe =
⋅δ =
⋅ Be⋅ Ue
L e
L
Esforço Interno : Fe

Fe
Equilíbrio : Princípio dos trabalhos virtuais
Treliça - forças nodais

V - Conjunto de nós com restrições essenciais

Número de barras : nel
Número de nós: nno

F - Forças nodais
U - Deslocamentos Nodais
E⋅ A

nel

∑ (Fe⋅δev) = F⋅Uv

para todo

Uv

em

V

L

⋅ Be⋅ Ue

n= 1

nel

Potência Interna: nel ∑ (

n= 1 nel nel

) ∑

Fe⋅ δev =

n=1

⎡ E⋅ A ⋅ B ⋅ U ⋅ B ⋅ U ⎤ =
⎢
e e ( e ev)⎥
⎣ L
⎦

nel

∑

n= 1

⎡⎛ B T ⋅ E⋅ A ⋅ B ⎞ ⋅ U ⋅ U ⎤
⎢⎜ e e⎟ e ev⎥
L
⎣⎝
⎠
⎦

∑ (Fe⋅δev) = ∑ ⎡(Ke⋅Ue)⋅Uev⎤
⎣
⎦

n= 1

n=1

Ke - Matriz de rigidez elementar
E⋅ A
T
Ke =
⋅ ( −cos( θ) −sin( θ) cos( θ) sin( θ) ) ⋅ ( −cos( θ) −sin( θ) cos( θ) sin( θ) )
L

2
⎛