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CAPÍTULO 3 COMPONENTES SIMÉTRICOS
3.1 - Análise por componentes simétricos
Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou à “American Institute of Electrical Engineers” o trabalho denominado “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos Polifásicos”. Este método desde então vem sendo largamente usado na análise de funcionamento de circuitos elétricos desbalanceados. Embora ométodo seja aplicável a qualquer sistema polifásico desequilibrado, este curso tratará especificamente de sistemas trifásicos. De acordo com o então denominado Teorema de Fortescue, três fasores, desequilibrados, de um sistema podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de fasores. Os três conjuntos equilibrados são: 1. Componentes de sequência positiva, consiste de 3 fasores iguais emmódulo, defasados de 120o, e tendo a mesma sequência que os fasores originais. 2. Componentes de sequência negativa, consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120o, e tendo a sequência da fase oposta a dos fasores originais. 3. Componentes de sequência zero, constituído de 3 fasores iguais em módulo com defasagem de 0o entre si. Assim, se um sistema tem a sequência de fases abc, assequências de fases dos componentes de sequência positiva e negativas, serão respectivamente abc e acb. Exemplo: sejam 3 fasores originais de tensão, Va, Vb e Vc , que serão decompostos nos três conjuntos abaixo:

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Vc1

Va1 Vb2 Vb1

Va2 Va0 Vb0 Vc0

Vc2

Figura 3.1 A soma gráfica dos 3 sistemas dará:

Va Vc Vc0 V c1

V a0 V a2 V a1

V c2 Vb

REFERÊNCIA............................... V b1
Figura 3.2 -

V b0

V b2

Da fig. 3.2 tira-se que: Va = Va1 + Va2 + Vao Vb = Vb1 + Vb2 + Vbo Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.1) (3.2) (3.3)

3.2 - Operadores
É bastante conhecido que o operador j produz rotação de 90o e que o operador -1 provoca rotação de 180o. Sabe-se também que duas aplicações sucessivas do operador j

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produzem rotação de “90o + 90o”, ou seja: j xj = j2 produz rotação de 180o. Logo: j2 = -1. Algumas das muitas combinações do operador j são mostradas a seguir: j = 1/90o = 1/-270o = 0 + j1 j2 = 1/-180o = 1/-180o = -1 + j0 = -1 j3 = 1/270o = 1/-90o = 0 = j1 = -j j4 = 1/360o = 1/0o = 1 + j0 =1 j5 = 1/450o = 1/90o = 0 + j1 = j Outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120o no sentido anti-horário: a = 1 /120o = 1 ej 2π/3 =-0,5 + j0,866 Aplicando-o duas vezes haverá uma rotação de 240o, três vezes 360o. Algumas das muitas combinações do operador a são mostradas a seguir: a = 1 /120o = -0,5 + j0,866 a2 = 1 /240o = -0,5 = -j0,866 a3 = 1 /360o = 1 + j0 a4 = 1 /120o = -0,5 + j0,866 = a 1 + a = 1 /60o = 0,5 + j0,866 = -a2 1 - a = 3 /-30o = 1,5 - j0,866 1 + a2 = 1 /-60o = 0,5 - j0,866 = -a a + a2 = 1/180o = - 1 - j0 a - a2= 3 /90o = 0 + j1,732 1 + a + a2 = 0 = 0 + j0 j + j2 = 2/135o = 2/-225o = -1 + j1 j + j3 = 0 - 0 + j0 j - j2 = 2 /45o = 2 /-315o = 1 + j1 j = j3 = 2 /90o = 2 /-270o = 0 + j2

A fig. 3.3 mostra diversos fasores operados por a:
a
3 -1, - a

60 o

60 o

- a2 60 o 1, a3 -a

a2

Figura 3.3 IMPORTANTE: Enquanto que +j a = 1/120o -a = 1 /120o . 1 /180o = 1 /300o = 1 /-60o significa rotaçãode +90o e -j rotação de -90o, para o operador a não se pode fazer afirmação análoga:

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3.3 - Componentes simétricos de fasores assimétricos
Retomando as equações (3.1), (3.2) e (3.3): Va = Va1 + Va2 + Va0 Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.1) (3.2) (3.3)

Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores:

Vb1 = a 2 . Va1 Vb 2 = a . Va 2 Vb 0 = Va 0Vc1 = aVa1 Vc 2 = a 2 Va 2 Vc 0 = Va 0
(3.4)

Substituindo o conjunto de equações (3.4) em (3.2) e (3.3), tem-se que o sistema de tensões Va, Vb e Vc poderá ser assim reescrito: Va = Va1 + Va2 + Va0 Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 Vc = aVa1 + a2Va2 + Va0 Matricialmente: (3.5) (3.6) (3.7)

Va Vb Vc

=

1 1 1 a2 1 a

11 Va 0 a . Va1 a2 Va 2

(3.8)

Por conveniência, será adotado que :...
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