algebra

VETORES E AS LEIS DA FÍSICA
Rotação de eixos.
Y

y’

y

ay

x’ θ’ θ ay

a=

x

Φ x

=

θ = θ’ + Φ,

onde Φ é o ângulo de rotação

MULTIPLICANDO VETORES
1. Multiplicando um vetor por um Escalar:
Se multiplicarmos um vetor módulo de

por um escalar s, obteremos um novo vetor. Seu módulo é o produto do

pelo valor absoluto de s. Sua direção é a direção de

e seu sentido é o mesmo de

se s for

positivo, mas o oposto se s for negativo.
2
a

2 =

+

a

2. Multiplicando um vetor por um vetor:
a)

Produto Escalar (Produto Interno)

= ab cosΦ
Φ,

produz um escalar.

.

lê-se “a escalar b”

Onde a é o módulo de , b é o módulo de , e Φ é o ângulo entre

e .

Um produto interno pode ser considerado como o produto de duas grandezas: (1) o módulo de um dos vetores e (2) a componente escalar do outro ao longo da direção do primeiro vetor.
.

= (a cós Φ)(b) = (a)(b cós Φ)

.

=

.

(propriedade comutativa)

Os vetores podem ser escritos em termos dos vetores unitários:

.

Propriedade distributiva

= (ax + ay + az ) . (bx + by + bz )

.

= axbx + ayby + azbz

Exemplo 1
Qual é o ângulo Φ entre
1o passo: como

= 3,0 - 4,0

= -2,0 + 3,0

?

= ab cosΦ
Φ , devemos determinar os módulos dos vetores

a=

= 5,00

b=

= 3,61

2o passo: como

e

e

= (ax + ay + az ) . (bx + by + bz ), podemos determinar

.

= (3,0 - 4,0 ).( -2,0 + 3,0 ) = (3,0 ).( -2,0 ) + (3,0 )( 3,0 ) + (- 4,0 ( -2,0

.

.
+ (- 4,0 ( 3,0 )

O ângulo entre os vetores unitários no primeiro termo ( e ) é 0o, e nos outros termos é 90o.
= - (6,0)(1) + (9,0)(0) + (8,0)(0) – (12)(0) = - 6,0

.
Então:

b)

Φ = cós-1

-6,0 = (5,00)(3,61).cosΦ

Produto Vetorial (Produto Externo)
O produto vetorial

Φ = 109,4o

produz um vetor

com , é escrito na forma

c = ab sen Φ,

sendo

=

x

e produz um terceiro vetor

x

de módulo:

e lê-se “a externo b”

onde Φ é o menor dos