algebra

Fundação Universidade de Brasília
Departamento de Matemática - IE

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Lista IV

Determine quais séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem A -

• 1)
• 2)
• 3)
• 4)
• 5)
• 6)
• 7)
• 8)

∑∞

n=2 (−1)

∑∞

n=2 (−1)

n ln(n) n n ln(n) na ,

a>0

∑∞

n n n=2 (−1) ln(n)

∑∞

n n n=1 (−1) n+1

∑∞

n n n=1 (−1) n2 +1

∑∞

n √n n=1 (−1) n n+2

∑∞ n=1 ∑∞

cos(n) n3 n=1 (−1)

n

√ n n

Determine se a armação é verdadeira ou falsa; se for falsa explique porque ou de um exemplo que prove sua falsidade. Se for verdadeira explique porque.
B -

• 1)

Toda série condicionalmente convergente é convergente.

• 2)

Toda série absolutamente convergente é convergente.

• 3)

Toda série alternada convergente é condicionalmente convergente.

• 4)

Se as séries diverge. • 5)

Se

∑∞ n=1 ∑∞ n=1 un e

∑∞

|un | diverge então

n=1

vn divergem então

∑∞ n=1 • 6)

n=1 (un

∑∞ n=1 un converge. Então a série

Toda série alternada converge.

• 8)

Se 0 ≤ u∑ n ≤ vn para todo n a partir do índice N e se diverge, então ∞ n=1 un diverge.

• 9)

+ vn )

un converge condicionalmente.

Suponha que un > 0, n ∈ N, e que converge condicionalmente.

• 7)

∑∞

Se

∑∞ n=1 |un | diverge então
∑∞

∑∞ n=1 n=1

vn

un diverge.

converge então

∑∞

bn converge.

• 10)

Se bn > 0 e

• 11)

n
Se un > 0 e lim( uun+1
) < 1 então

• 12)

Toda série convergente é absolutamente convergente.

n=1 bn

∑∞

n=1 (−1)

∑∞ n=1 n

un converge.

Determine se a armação e verdadeira ou falsa; se for falsa explique porque ou de um exemplo que prove sua falsidade. Se for verdadeira explique porque.
C -

• 1)

Se

• 2)

Se

∑∞ n=1 ∑∞ n=1 an < ∞, an > 0 ⇒ an < ∞, an > 0 ⇒

∑∞

n=1 (an )

∑∞