algebra

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Algebra
Linear—Exerc´ıcios Resolvidos

Agosto de 2001

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Sum´ ario 1 Exerc´ıcios Resolvidos — Uma Revis˜ ao 5

2 Mais Exerc´ıcios Resolvidos Sobre Transforma¸ c˜ oes Lineares

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SUMARIO

Cap´ıtulo 1

Exerc´ıcios Resolvidos — Uma Revis˜ ao Ex. Resolvido 1 Verifique se V = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; y = x, z = w2 } com as opera¸c˜ oes usuais de R4 ´e um espa¸co vetorial.
Resolu¸
c˜ ao: Note que (0, 0, 1, 1) ∈ V mas −1(0, 0, 1, 1) = (0, 0, −1, −1) ∈ V. Assim, V n˜ao ´e um espa¸co vetorial. Ex. Resolvido 2 Seja A ∈ Mn (R) uma matriz quadrada de ordem n. Verifique se W = {X ∈ Mn×1 (R); AX =
0} ´e um subespa¸co vetorial de Mn×1 (R), com as opera¸c˜ oes usuais.
Resolu¸
c˜ ao: 1. Seja O = (0) a matriz n × 1 nula. Como AO = O, temos que O ∈ W.
2. Se X, Y ∈ W e λ ∈ R, ent˜ao, pelas propriedades da soma e da multiplica¸c˜ao por escalar usuais entre as matrizes e, tamb´em, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos
A(X + λY ) = AX + A(λY ) = AX + λAY = O + λO = O.
Portanto X + λY ∈ W.
Conclu´ımos que W ´e um subespa¸co vetorial de Mn×1 (R).
Ex. Resolvido 3 Encontre o subespa¸co vetorial de P3 (R) gerado por S = {1, t, t2 , 1 + t3 }.
Resolu¸
c˜ ao: Note que t3 = (t3 + 1) − 1. Assim, dado p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 ∈ P3 (R) podemos escrever p(t) = (a0 − a3 ) + a1 t + a2 t2 + a3 (t3 + 1) ∈ [S]. Logo, P3 (R) = [S].
Ex. Resolvido 4 Encontre o subespa¸co vetorial de M2 (R) gerado por
S=

0
0

1
0

,

0 0
−1 0

Resolu¸ c˜ ao: Temos que A ∈ [S] se e somente se existem α, β ∈ R tais que
A=α

0
0

1
0

+β

0 0
−1 0

=

0
−β

α
0

,

ou seja, A ∈ [S] se e somente se os elementos da diagonal principal de A s˜ao nulos.

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˜
CAP´ITULO 1. EXERC´ICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

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Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M3×1 (R) : AX = 0}, onde Resolu¸ c˜ ao:



0 1
A= 2 1
1 1


0
0 .
4

 

   
α