algebra

Universidade do Grande Rio José de Souza Herdy (Unigranrio)
Duque de Caxias
Trabalho de Álgebra Linear

Características do Espaço Vetorial

Sandy de Lima Nogueira
Matrícula: 5802251
Turma: IEN 175-14/1
Professor(a): Ingrid Silva

Rio de Janeiro
2014
Espaço Vetorial

Definição
A definição de espaço vetorial é uma definição muito importante em Álgebra Linear. Ela permite estabelecer propriedades comuns a conjuntos aparentemente tão diferentes como conjuntos de vetores de Rn, conjuntos de polinómios, conjuntos de matrizes, etc. Uma vez verificadas as propriedades da soma vetorial e da multiplicação por um escalar, ao restringirmos o conjunto dos vetores, construímos um subespaço vetorial se retivermos o vetor nulo no conjunto, e se o conjunto for fechado para a soma e para a multiplicação por escalares. Um Espaço Vetorial é formado por: Um conjunto qualquer V cujos elementos serão chamados de vetores.
Um corpo K, cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1. Uma operação +: V x V → V, conhecida como adição de vetores. Uma operação *: K x V → V, chamada de multiplicação por escalar Uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
A1 Quaisquer que sejam u,v,w inV
(u+v)+w = u+(v+w)
A2 Existe θ inV tal que para todo v inV: θ + v = v
A3 Para cada v inV, existe −v inV tal que v+(−v)=θ A4 Quaisquer que sejam u,v inV, segue que u+v=v+u M1 Para todo escalar k inK e quaisquer v,w inV:
k.(v+w) = k.v + k.w
M2 Para quaisquer k,m inK e todo v inV:
(k+m).v = k.v + m.v
M3 Para quaisquer k,m inK e qualquer v inV:
(km).v = k(m.v)
M4 Para qualquer v inV tem-se que
1.v = v
Propriedades em um espaço vetorial
Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
* Para todo k inK segue que k.θ = θ. * O vetor nulo θ é único.
* Para todo v inV tem-se que 0.v = θ.
* Para