Algebra

Universidade Federal do Tocantins
4. Lista de Exercícios de Álgebra Linear
1) Calcular o número de inversões das seguintes permutações de 1,2,3,4,5:
a) 3 5 4 1 2
b) 2 1 4 3 5
c) 5 4 3 2 1
2) No determinante de uma matriz 5x5, que sinal (negativo e positivo) precederia os termos:
a) a13a25a34a41a52
b) a15a24a33a42a51
3) Quantas inversões tem a permutação (n n-1 n-2 ... 2 1) dos números 1, 2, ..., n-1, n?

 2 0 1
4) Calcular det  3 0 2  ,


 4 3 7 


a) pela definição e
b) em relação à segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.
1 2
 3 1
5) Dadas as matrizes A = 
 e B = 0 1 , calcular:


1 0
a) det(A) + det(B)
b) det (A+B)
6) Calcular os determinantes das matrizes a seguir:

1 0 x 
i) A = 1 1 x ² 


2 2 x ² 



1  2 3  ii) B = 2 4  1


1 5  2 



4 5
7  8

5 6

0 4

1 1/ 3
1/ 2 1 

4
1 


5  3  2
2
 2  3 2  5

v) E = 
1
3 2 2 


3
1  6 4

1 
t  3  1
 5 t 3
1  iv) D = 

 6
 6 t  4



2 3
0  3 vi) F = 
0 0

0 0

1/ 2 iii) C = 3 / 4

 1


 1

 
 

 vii) G = 
 

 

 0
 1


2
3
0
21


2
0
2

3
5
7
11
2 5
10

7 98
3
 45
4
6
7
4
10 33
3
0
7
1  45  9
0
0
0
0
3
4
5
6

13
2
2
22
0
0
0
7

17 

0 
0 

0 
0 

2 

0 
8 


k k 
7) Determinar os valores de k para os quais det 
 =0.
 4 2k 

1 1 1
8) Mostrar que det  a b c  = (a-b)(b-c)(c-a).


a ² b ² c ² 

 x1 1
9) Mostrar que a área do triângulo na figura é dada pelo determinante x 2
2
x3

y1 1 y2 1 : y3 1

B(x3,y3)
A(x1,y1)

C(x2, y2)

1  2
2 3
5 3
1
4

 , calcular:
10) Dada a matriz A =
0 1
2
2


3  1  2 4 
a) A23
b) |A23|
c) ∆23

2 1  3
11) Dada a matriz A= 0 2 1  , calcular:


5 1 3 


a) adj(A)
b) det(A)