Algebra

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – TEOREMAS DA DECOMPOSIÇÃO E D’ALEMBERT
GABARITO

1. Qual o valor de m, de modo que –1 seja raiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1-m)x - 2 = 0?
Solução. Se -1 é raiz de um polinômio P(x), então P(-1) =0 e P(x) é divisível por (x + 1). Calculando O valor do polinômio mostrado para x = -1, temos:
P(-1) = (-1)³ + (m+2)(-1)² + (1-m)(-1) – 2 = - 1 + m + 2 – 1 + m – 2 = 2m – 2. Igualando essa expressão a zero, vem: 2m – 2 = 0 se 2m = 2 implicando que m = 1.
2. Seja P(x) = x³ + 6x2 – x – 30. Se P(2) = 0, escreva o conjunto solução de P(x) = 0.
Solução. Se P(2) = 0 , então o polinômio x³ + 6x2 – x – 30 é divisível por x – 2.
Encontrando o quociente Q(x) pelo método de Briot-Ruffini, temos: Logo, Q(x) = x2 + 8x + 15. Esse polinômio de grau 2 possui duas raízes que podem ser encontradas por Báskhara ou fatoração de soma e produto. Utilizando esse método, encontramos: (x + 3).(x + 5) = 0 se x = -3 ou x = -5. Logo, a solução de P(x) = 0 é S = {- 3, - 5, 2}
4. Calcule p na equação x4 + px³ + px² + p = 0, sabendo-se que 1 é raiz.
Solução. Se 1 é raiz então, P(1) = 0. Logo, (1)4 + p(1)³ + p(1)² + p = 0. Calculando as potências e simplificando, vem:
5. Calcule a soma das raízes da equação .
Solução. Multiplicando cruzado e resolvendo a equação, vem: 6. Encontre a maior raiz da equação x³ + 4x² + 3x = 0.
Solução. Observamos que o fator “x” aparece em todos os termos. Logo pode ser colocado em evidência: x(x2 + 4x + 3) = 0. Com certeza uma das raízes será 0. Para encontrar as outras, basta fatorar ou utilizar Báskhara. Temos: x(x2 + 4x + 3) = 0 = x.(x + 1).(x + 3) = 0. As raízes serão: - 3, - 1 e 0. A maior raiz então é x = 0.

7. A equação 2x³ - 5x² - x + 6 = 0 admite uma raiz igual a 2. Encontre as outras duas raízes.
Solução. Se x = 2 é raiz então o polinômio é divisível por x – 2. Aplicando Briot-Ruffini, temos:
. Logo Q(x) = 2x2 – x – 3 . Um polinômio de grau 2 com duas raízes. Para