Algebra

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DOM BOSCO INSTITUIÇÃO SALESIANA DE ENSINO SUPERIOR Curso: Engenharia Civil Disciplina: Algebra Linear Prof. Ma. Thatiana Sakate Abe Nota de aula 2 – Sistemas Lineares

Sistemas Lineares
1. Equação Linear Uma equação linear (ou igualdade linear) é uma equação do tipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + … + anxn = b
no qual os x1, x2, x3, x4, … , xn são as variáveis (ou incógnitas)da equação, os a1, a2, a3, a4, … , an são valores reais denominados coeficientes das variáveis, e b é um valor real denominado termo independente. Exemplos de equações lineares: • 2x1 + 5x2 - 3x3 = 6 • -2x1 + 3x2 = - 4 • 3x – 2y + z = 1 (que equivale a 3x1 – 2x2 + x3 = 1) Exemplos de equações não lineares: • x2 + y2 = 9 • x1 + x1x2 + 4x3 = 3 2. Solução da equação Linear Obtemos uma solução daequação atribuindo valores às variáveis xi de modo a satisfazer a equação. Por exemplo, a sequência (5, 6, 7) é solução da equação 2x1 + 3x2 – 2x3 = 14, pois tomando x1 = 5, x2 = 6 e x3 = 7 e substituindo na equação dada teremos: 2x1 + 3x2 – 2x3 = 14 2 (5) + 3 (6) – 2 (7) = 14 10 + 18 -14 = 14 14 = 14

3. Sistema de Equações Lineares Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é umconjunto de equações lineares descritas na forma:

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4. Solução de um Sistema de Equações Lineares Obtemos uma solução de um sistema de equações lineares atribuindo valores às variáveis xi de modo a satisfazer cada uma das equações lineares que constituem o sistema. Por exemplo, (2,3,1), ou seja x = 2, y =

2x  4y - 6z  10  3 e z = 1, é solução ou raiz dosistema de equações lineares 4 x  2y  2z  16 , pois se substituirmos 2x  8y - 4z  24 
(2,3,1) no sistema podemos verificar que é verdadeiro para cada uma das igualdades das equações lineares. 2x + 4y - 6z =10 => 2(2) + 4(3) – 6(1) = 10 => 10 =10 4 x + 2y + 2z =16 => 4(2) + 2(3) + 2(1) = 16 => 16 = 16 2x + 8y - 4z = 24 => 2(2) + 8(3) – 4(1) = 24 => 24 = 24 5. Classificação de um Sistema deEquações Lineares Um sistema de equações lineares pode ser:  Possível ou compatível e determinado (possui uma única solução)

 2 x  3 y  4 Exemplo:   x  3y  3
 Possível ou compatível e indeterminado (admite infinitas soluções)

10 x  2 y  20 Exemplo:   0x  0 y  0
 Impossível ou incompatível (não admite solução)

7 x  3 y  53 Exemplo:   0x  0 y  4

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 Homogêneo (quando todos os termos independentes são nulos)

2x  4y - 6z  0  Exemplo: 4 x  2y  2z  0 2x  8y - 4z  0 
Discuta os sistemas a seguir:

 2 x  3 y  4 a)   0 x  5 y  15

x  4y - 7z  0  b) 5 x  6y  8z  0 0x  0y - 0z  2 

 x  3 y  20 c)  0 x  0 y  0
3x  4y - 7z  4t  0  d) 6 x  2y  2z  0t  3 0x  0y - 0z  0t  0  3x  4y- 7z  4t  0  e) 6 x  2y  2z  0t  3 0x  0y - 0z  0t  4   x  3 y  20  f) 0 x  0 y  0 0 x  4 y  8   x  3 y  20  g) 0 x  0 y  3 0 x  4 y  8 

6. Equivalência entre Sistemas de Equações Lineares Dois ou mais sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. Por

9 x  2 y  20 4 x  8 y  40 11 exemplo:  e possuem a mesma solução ouraiz (1, ). 2  x  2 y  10 18 x  4 y  40 9 x  2 y  20 Notação:   x  2 y  10



4 x  8 y  40  18 x  4 y  40

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7. Operações Elementares de um Sistema de Equações Lineares A partir de um sistema de equações lineares podemos efetuar “operações” no qual encontraremos sistemas equivales a ele, ou seja, que tenham a mesma solução. (i)Permutação de duas equações;

2x  4y - 6z  10  4 x  2y  2z  16 2x  8y - 4z  24 

 

4x  2y  2z  16  2 x  4y - 6z  10 E1 => E2 2x  8y - 4z  24 

4x  2y  2z  16  2 x  4y - 6z  10 2x  8y - 4z  24 

2x  8y - 4z  24  2 x  4y - 6z  10 E1 => E3 4x  2y  2z  16 

(ii) Multiplicação por uma constante não nula (diferente de zero);

2x  4y - 6z  10 E1  (2) ...
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