algebra

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
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DEPARTAMENTO DE MATMATICA

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ALGEBRA I

NEUZA KAKUTA
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SAO JOSE DO RIO PRETO - 2005

Conte´ do u Cap´ ıtulo 1. Conjuntos

1

Opera¸oes entre conjuntos c˜ 1

Cap´ ıtulo 2. A Aritm´tica dos Inteiros e 5

1. Princ´ ıpio da Boa Ordem e Indu¸ao Finita c˜ 5

2. Divisibilidade

6

3. Equa¸ao Diofantina Linear c˜ 9

4. Congruˆncias e 11

Cap´ ıtulo 3. Rela¸˜es de Equivalˆncia e de Ordem co e

13

1. Rela¸ao de Equivalˆncia c˜ e

14

2. Rela¸ao de Ordem c˜ 15

Cap´ ıtulo 4. Opera¸˜es co 19

T´bua de uma Opera¸˜o sobre um Conjunto Finito a ca
Cap´
ıtulo 5. Grupos

21
23

1. Homomorfismo de Grupos

25

2. Grupos C´ ıclicos 29

3. Grupo Gerado por um Conjunto

31

4. Classes Laterais e Teorema de Lagrange

32

5. Subgrupos Normais

34

6. Grupo das Permuta¸˜es co 35

Cap´ ıtulo 6. An´is e Corpos e 39

1. Dom´ ınios e Corpo de Fra¸˜es co 40

2. Ideais de um Anel Comutativo

42

3. Homomorfismos de An´is e 43

4. An´is Quocientes e Teorema de Isomorfismo e 44

5. Dom´ ınios Principais

46 i ´
CONTEUDO

ii

6. Anel de Polinˆmios sobre um Corpo o 47

7. Ra´ de um Polinˆmio ızes o

48

8. Polinˆmios Irredut´ o ıveis

48

Apˆndice 1 e 53

Indu¸ao Finita c˜ 53

Teorema Fundamental da Aritm´tica e 53

Apˆndice 2 e Fun¸ao de Euler c˜ Apˆndice 3 e Constru¸ao do Anel dos Inteiros c˜ Apˆndice 4 e Constru¸ao do Corpo dos Racionais c˜ 55
55
57
57
59
59

CAP´ ıTULO 1

Conjuntos
Definicao 0.1. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A ´ subconjunto de B e escrevemos
¸˜
e
A ⊆ B se ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Claramente ∅ ⊆ A e A ⊆ A para todo A.
Definicao 0.2. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que eles s˜o iguais se A ⊆ B e B ⊆ A.
¸˜
a
Neste caso escrevemos A = B.
Opera¸oes entre conjuntos c˜ Sejam X um conjunto universal e A, B ⊆ X.
Definicao 0.3. A