algebra

2010

Estruturas
Algébricas
Uma Introdução Breve

Uma

Prof. Carlos R. Paiva

[ESTRUTURAS ALGÉBRICAS]

Prof. Carlos R. Paiva

NOTA PRÉVIA
As breves notas que se seguem destinam-se a constituir uma introdução bastante sucinta de algumas estruturas algébricas abstractas. Os exemplos escolhidos baseiam-se, essencialmente, nos conjuntos dos números mais conhecidos equipados com as respectivas operações usuais.

 1, 2, 3, 4, 5, 
 ,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, 

naturais



inteiros





racionais





p
  r  | p, q  , q  0  q 


reais



complexos







i

quaterniões 

números 







j







octoniões

Apesar de, do ponto de vista histórico, ter causado alguma dificuldade «psicológica» a aceitação pelo mainstream quer dos números negativos quer dos números complexos, é talvez a definição dos números reais que deve causar maior cuidado e reflexão. Sobre este assunto recomenda-se a leitura de:
John Stillwell, Roads to Infinity – The Mathematics of Truth and Proof. Natick,
Massachusetts: A K Peters, 2010.
Uma forma, hoje quase universalmente aceite, de introduzir os números reais deve-se ao matemático alemão Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916). Veja-se, a este propósito: Michael Spivak, Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 3rd ed., 1994, pp. 578-596 (Chapters 29-30).
Sobre os números (em geral) e sobre os complexos, os quaterniões e os octoniões (em particular), consulte-se a excelente obra:
H.-D. Ebbinghaus et al., Numbers. New York: Springer-Verlag, 1991.
Uma referência importante para o estudo das estruturas algébricas em álgebra abstracta é o livro:
Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra. Lisboa: IST Press (Vol.
15), 2004.
A construção de Cayley-Dixon, segundo a qual se tem
Página 1

Prof. Carlos R. Paiva




 i
 j



[ESTRUTURAS ALGÉBRICAS]



pode ser consultada em:
Pertti