Algebra

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Resposta da 1ª lista de exercícios

1) A=(2,1), B=(-3,-1), C=(4,4) e D=(5,-2), calcule os vetores:

a) AB + 2CD

AB = B – A = (-3, -1) – (2,1) = (-5, -2)
CD = D – C = (5, -2) – (4, 4) = (1, -6)
AB + 2CD = (-5, -2) + 2 (1, -6) = (-5, -2) + (2, -12) = (3, -14)

b) 3AC – 2DB

AC = C – A = (4,4) – (2,1) = (2,3)
DB = B – D = (-3, -1) – (5, -2) = (-8, 1)
3AB – 2DB = 3(2,3) – 2(-8,1) = (6,9) – (-16, -2) = (22, 11)

c) AB + 2AC – 3AD

AB = B – A = (-3, -1) – (2,1) = (-5, -2)
AC = C – A = (4,4) – (2,1) = (2,3)
AD = D – A = (5, -2) – (2,1) = (3, -3)
AB + 2AC – 3AD = (-5, -2) + 2(2,3) – 3(3, -3) = (-5, -2) + (4,6) – (-9,9) = (-1, 4) – (-9,9) = (8, 5)

d) AB + BC + CD + DA

AB = B – A = (-3, -1) – (2,1) = (-5, -2)
BC = C – B = (4,4) – (-3, -1) = (7,5)
CD = D– C = (5, -2) – (4, 4) = (1, -6)
DA = A – D = (2,1) – (5, -2) = (3,3) OU DA = A – D = (2,1) – (5, -2) = (-3,3)
AB + BC + CD + DA = (-5, -2) + (7,5) + (1, -6) + (-3,3) = (0,0)
OU
AB + BC + CD + DA = (-5, -2) + (7,5) + (1, -6) + (3,3) = (6,0)

2) Se v = AB, sendo A=(3,2) e v=(5,8) calcule o ponto de B?

v = AB
(5,8) = (x,y) – (3,2)
(5,8) = (x-3,y-2)

x-3=5 y-2=8
x=5+3 y=2+8
x=8y=10
B=(8,10)

3) De o ponto médio dos segmentos abaixo:

a) A= (2,1) e B= (6,9)

m = (2,1)+(6,9) = (8,10) = (4,5)
2 2

b) A= (-1, -4) e B= (7, -1)

m = (-1, -4)+(7, -1) = (6,-5) = 3, -5
2 2 2

c) A= (½, -1) e B= (5, -⅔)

m = (½, -1)+( 5, -⅔) = 11, -5
2 2 4 6

4) Obter os pontos que dividem o segmento seextremidade A (2,4) e B (14,13) em três partes iguais.

A=(2,4) | | | |B=(14,13)
P=(6,7) Q=(10,10)

B – A = (14,13) – (2,4) = (12,9)

AB = 3AP (fazer P-A)
(12,9) = 3(x – 2, y – 4) obs: dividir 12 e 9 por 3

x – 2 = 4 Q = 6+14 ; 7+13 = (10,10)
x = 6 2 2

y – 4 = 3
y = 7

P = (6,7)

5) Obteros pontos que dividem o segmento se extremidade A (1,0) e B (12, - 7) em cinco partes iguais.

A=(1,0) | | | | | | B=(12, -7)
P Q R S
AB = 5(AP)

6) Dados A (3,7) e B (11,19) determine o ponto C tal que AC = ¼ AB.

(AC) = ¼ (AB) B – A = (11,19) – (3,7) = (11 - 3) – (19 - 7) = (8,12)
C – A = ¼ B – A
(x,y) – (3,7) = ¼ (8,12)
(x – 3 ; y - 7) = (2,3)

x – 3 = 2 y– 7 = 3
x = 5 y = 10

C = (5,10)

7) Dados u=(4,9), v=(2,-1) e w=(5,10), calcule:

a) u . v

(4,9).(2, -1) = (8 -9) = -1

b) v.w

(2, -1).(5,10) = (10, -10) = 0

c) (u-v).w

((4,9) – (2, -1)).(5,10) = (4 – 2 ; 9 –(-1)).(5,10) = (2,10) . (5,10) = 10 +100 = 110

d) (u+v).(u-v)

((4,9) + (2, -1)).((4,9) – (2, -1)) = (4 + 2 ; 9 + (-1)) . (4 – 2 ; 9 – (-1)) = (6,8) . (2,10) = 12+ 80 = 92

8) Dados u=(4,9), v=(2,-1) e w=(5,10), calcule:
_________ _________ ____
a) |u| = √4² + 9² = √16 + 81 = √97

b) |u+v| = |(4 + 2), (9 + (-1))| = |6 + 8| = √6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10

c) |3w| = |3.(5,10)| = |15,30| = √15² + 30² = √225 + 90 = √1125 = 15√5

d) |3u-2v| = |3(4,9) – 2(2, -1)| = |(12,27) – (4, -9)| = |(9, 29)| = √8² + 29² = √64 + 841 = √905e)|u|+|v|-2u.v =
|u| = √4² + 9² = √16 + 81 = √97
|v| = √2² + 1² = √4 + 1 = √5
2u = 2(4,9) = (8,18)
2u . v = (8,18) . (2, -1) = (16,-18)

|u| + |v| - 2u.v = √97 + √5 – 2

9) Dados u=(4,7,3), v=(2,2,1) e w=(0, -5, 2), calcule

a) u.v = (4,7,3) . (2,2,1) = 6+14+3 = 25

b) (u+v).u = ((4,7,3) + (2,2,1)).(4,7,3) = (6,9,4).(4,7,3) = 24+63+12 = 99

c) u.(v-2w) = (4,7,3).((2,2,1) – 2(0,-5, 2)) = (4,7,3) . ((2,2,1) – (0,-10.4)) = (4,7,3) . (2,12,-3) = 8+84-9 = 83

d) |u| = √4²+7²+3² = √16+49+9 = √74

e)|u+v| = |(4,7,3)+(2,2,1)| = |6,9,4| = √6²+9²+4² = √36+81+16 = √113

f)|3v-w| = |3(2,2,1) – (0, -5, 2)| = |(6,6,3) – (0, -5, 2)| = |6,11,1| = √6²+11²+1² = √36+121+1 = √158

10) Dado u=(a+1, 2) e v=(-3, a) calcule os valores de a para que se tenha u.v=0 (isto é, sejam...
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