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Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Matemática I
Jorge Marques
Faculdade de Economia Universidade de Coimbra
Ano lectivo de 2008/2009
Jorge Marques
Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Programa
1
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Jorge Marques
Matemática I
Matrizes, Determinantes eSistemas de Equações Lineares
Matriz de Números Reais
Representação de uma Matriz Diz-se que a1 1 a1 2 a2 1 a2 2 A= ... ... am 1 am 2 ... ... ... ... . . . a1 n . . . a2 n ... ... . . . am n
é uma matriz de números reais do tipo m por n ou (m, n) ou m × n. A matriz pode ser representada de forma simplificada por A = [ai j ]m×n , i = 1, 2, . . . , m ; j = 1, 2, . . . , n. Tipos deMatrizes A é uma matriz rectangular se m = n A é uma matriz quadrada se m = n
Jorge Marques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Matriz de Números Reais
Casos Particulares de Matrizes Rectangulares Diz-se que: A é uma matriz coluna (ou vector coluna) se n = 1 A é uma matriz linha (ou vector linha) se m = 1 Noções sobre Matrizes Quadradas de Ordem n Adiagonal principal de A = [ai j ] é constituída pelos elementos principais, isto é, {ai i , i = 1, 2, . . . , n} A diagonal secundária de A = [ai j ] é constituída pelos elementos do seguinte conjunto: {ai n−i+1 , i = 1, 2, . . . , n}
Jorge Marques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Matrizes Especiais
Matriz Diagonal Diz-se que A é uma matriz diagonal se ai j =para todo o 0 a1 1 0 0 ... 0 0 a2 2 0 . . . 0 .. . ... ... 0 i = j, isto é, A = 0 .. ... ... ... . 0 0 0 . . . 0 an n Então A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ). Matriz Escalar Uma matriz diagonal em que os elementos diagonais são todos iguais diz-se que é uma matriz escalar. Matriz Nula: 0 = diag(0, 0, . . . , 0) Matriz Identidade: In = diag(1, 1, . . . , 1)
JorgeMarques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Matrizes Especiais
Matrizes Triangulares Diz-se que A é uma matriz triangular superior se ai j = 0 a1 1 a1 2 . . . . . . a1 n 0 a2 2 . . . . . . a2 n .. 0 . ... ... 0 para i > j, isto é, A = . . . . . . . . . ... . . . 0 0 . . . 0 an n Diz-se que A é uma matriz triangular inferiorse ai = 0 j a1 1 0 0 ... 0 a2 1 a2 2 0 . . . 0 . . . . . . ... . . . 0 para i < j, isto é, A = . . . . . . . . . ... . . . an 1 an 2 . . . . . . an n
Jorge Marques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Transposição de uma Matriz
Matriz Transposta Seja A = [ai j ] uma matriz do tipo m por n. A transposta de A, AT , é a matriz dotipo n por m que se obtém de A trocando linhas por colunas, isto é, AT = [bi j ] onde bi j = aj i , i = 1, 2, . . . , n , j = 1, 2, . . . , m Note-se que (AT )T = A. Exemplos A transposta de uma matriz triangular inferior (superior) é uma matriz triangular superior (inferior) A transposta de uma matriz diagonal é a própria matriz, isto é, se A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ) então AT = A Atransposta de um vector coluna é um vector linha
Jorge Marques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Igualdade de Matrizes
Definição Sejam A = [ai j ] e B = [bi j ] duas matrizes do tipo m por n. Diz-se que A e B são iguais, A = B, se ai j = bi j , i = 1, 2, . . . , m , j = 1, 2, . . . , n Matriz Simétrica Diz-se que A é uma matriz simétrica se AT = A. ExemploA= 0 1 1 2 é uma matriz simétrica.
Qualquer matriz diagonal é simétrica, isto é, se A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ) então AT = A
Jorge Marques Matemática I
Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Operações com Matrizes
Adição de Matrizes Sejam A = [ai j ] e B = [bi j ] duas matrizes do tipo m por n. À matriz C = [ci j ] do mesmo tipo tal que ci j = ai j + bi j ,...
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Ano lectivo de 2008/2009
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Programa
1
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Matriz de Números Reais
Representação de uma Matriz Diz-se que a1 1 a1 2 a2 1 a2 2 A= ... ... am 1 am 2 ... ... ... ... . . . a1 n . . . a2 n ... ... . . . am n
é uma matriz de números reais do tipo m por n ou (m, n) ou m × n. A matriz pode ser representada de forma simplificada por A = [ai j ]m×n , i = 1, 2, . . . , m ; j = 1, 2, . . . , n. Tipos deMatrizes A é uma matriz rectangular se m = n A é uma matriz quadrada se m = n
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Matriz de Números Reais
Casos Particulares de Matrizes Rectangulares Diz-se que: A é uma matriz coluna (ou vector coluna) se n = 1 A é uma matriz linha (ou vector linha) se m = 1 Noções sobre Matrizes Quadradas de Ordem n Adiagonal principal de A = [ai j ] é constituída pelos elementos principais, isto é, {ai i , i = 1, 2, . . . , n} A diagonal secundária de A = [ai j ] é constituída pelos elementos do seguinte conjunto: {ai n−i+1 , i = 1, 2, . . . , n}
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Matrizes Especiais
Matriz Diagonal Diz-se que A é uma matriz diagonal se ai j =para todo o 0 a1 1 0 0 ... 0 0 a2 2 0 . . . 0 .. . ... ... 0 i = j, isto é, A = 0 .. ... ... ... . 0 0 0 . . . 0 an n Então A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ). Matriz Escalar Uma matriz diagonal em que os elementos diagonais são todos iguais diz-se que é uma matriz escalar. Matriz Nula: 0 = diag(0, 0, . . . , 0) Matriz Identidade: In = diag(1, 1, . . . , 1)
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Matrizes Especiais
Matrizes Triangulares Diz-se que A é uma matriz triangular superior se ai j = 0 a1 1 a1 2 . . . . . . a1 n 0 a2 2 . . . . . . a2 n .. 0 . ... ... 0 para i > j, isto é, A = . . . . . . . . . ... . . . 0 0 . . . 0 an n Diz-se que A é uma matriz triangular inferiorse ai = 0 j a1 1 0 0 ... 0 a2 1 a2 2 0 . . . 0 . . . . . . ... . . . 0 para i < j, isto é, A = . . . . . . . . . ... . . . an 1 an 2 . . . . . . an n
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Transposição de uma Matriz
Matriz Transposta Seja A = [ai j ] uma matriz do tipo m por n. A transposta de A, AT , é a matriz dotipo n por m que se obtém de A trocando linhas por colunas, isto é, AT = [bi j ] onde bi j = aj i , i = 1, 2, . . . , n , j = 1, 2, . . . , m Note-se que (AT )T = A. Exemplos A transposta de uma matriz triangular inferior (superior) é uma matriz triangular superior (inferior) A transposta de uma matriz diagonal é a própria matriz, isto é, se A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ) então AT = A Atransposta de um vector coluna é um vector linha
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Igualdade de Matrizes
Definição Sejam A = [ai j ] e B = [bi j ] duas matrizes do tipo m por n. Diz-se que A e B são iguais, A = B, se ai j = bi j , i = 1, 2, . . . , m , j = 1, 2, . . . , n Matriz Simétrica Diz-se que A é uma matriz simétrica se AT = A. ExemploA= 0 1 1 2 é uma matriz simétrica.
Qualquer matriz diagonal é simétrica, isto é, se A = diag(a1 1 , a2 2 , . . . , an n ) então AT = A
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Operações com Matrizes
Adição de Matrizes Sejam A = [ai j ] e B = [bi j ] duas matrizes do tipo m por n. À matriz C = [ci j ] do mesmo tipo tal que ci j = ai j + bi j ,...
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