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arUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A
PROFs.: Enaldo Vergasta,Glória Márcia
2a LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D.
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. podeser L.D.
d) Se w1 ∈ [ w 2 , w 3 ] então { w1 , w 2 , w 3 } é L.D.
e) Se [w 1, w 2 ] = [ w1 , w 2 , w 3 ] então { w 1, w 2 , w 3 } é L.D.
f) Se { w 1, w 2 , w 3 } é L.I. então [w 1, w 2 ] = [w 1, w 2 , w 3 ]
2) Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.
a) V = R 4 ,

S1 =

{(1,-2,4,1), (2,1,0,-3 ), (0,-5,8,5 )}
  2 1 - 1   2 - 2 1   4 - 1 0 
 ,
,



  3 - 2 4   - 2 0 - 7  1 - 2 - 3  

b) V = M2 x3 (R) , S2 =  


c) V = P2 (R), S 3 = {t3-4t2+2t+3, t3+2t2+4t-1, 2t3-t2-3t+5}.
3) Considere os vetores de M2 (R) dados a seguir:
1 2 
 2 x
 - 1 - 2
2 4 
v1 = 
 0 0  , v 2 =  - 1 0  , v 3 =  y 2  , v 4 =  2y z 
















Determine se possível, os valores de x, ye z para que cada item abaixo seja verdadeiro.
a) {v 1, v 4 } é L.I.

b) {v 1, v 2 } é L.I

c) {v 1, v 2 , v 3 } é L.I.

4) Verifique se os conjuntos dados a seguir são bases para os respectivos espaços.
Caso não sejam bases, justifique o porquê.
a) V1 = R 2 , S1 = {(1,-1), (- 2,2 )}
c) V3 = P2 (R),

{

b) V2 = R 3,

}

S3 = t 2 - 1, t + 2,5

S2 = {(1,1,0 ), (0,0,1)}
1 0 1 0 1 1  0 0 0 

S4 = { 
 0 0 1 ,  0 0 0  ,  0 1 2  }








d) V4 = M2x 3 (R),

5) Determine uma base e a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
a) W = [(1,0,0 ), (0,5,-2 ), (7,0,2 ), (3, ? ,2)]
1



c)W3 = 



{

b) W2 = [(1,0,3 ), (0,-1,2 ), (1,-1,5 )]

x y 

 z w  ∈ M2 (R) ; x + z – y = 0




}





{

}

d) W4 =t 3 + t 2, t2 - 2t,1

e) W5 = (x, y,z,w) ∈ R ; z = w e y = 2x
4

6) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos conjuntos
de vetores.

a)V = R3, S1 = {(1,2,0), (0,1,-1}
)
1

b)V2 = P2 (R),S2 = {t + 1,2t - 1}

1

7) Em cada item, encontre as coordenadas do vetor vi em relação à base a i do subespaço
gerado pelos vetores das bases dadas.
a) a 1 = {(1,1,1), (0,1,0 ) }, v1 = (3,2,3 )

{

}

b) a 2 = t 2 , t + 1 , v 2 = -2t 2

1 1   0 - 1  1 - 1  
−1 0 

c) α 3 = 
1 0 , 1 0 ,  0 0   , v 3 =  - 2 0 













8) Sejam W1 e W2 subespaços de R5 . Determine, justificando, a dimensão de W2 , sabendo que
W1 ∩ W 2 = [(1,-1,-2,0, 0 ), (2,1,-1,0,0 ), (1,2,1,0,0)] , dim( W 1+W 2 ) = 4 e

{(1,2,1,0,0 ), (0,1,1,0,0 ) } é uma base de W1 .
9) Sabendo que R4 = V ⊕ W e V = [(1,2,3,4 ), (3,6,9,12 )] , determine a dimensão de W .
10) Sejam U e V subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6.
I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que U ∩ W ≠ {0}.
II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para U ∩ W.
11) Dê, se possível (se for impossível, expliqueporque), exemplos de:
a) Um conjunto L.I. de três vetores do R3 que não geram o R3 .
b) Um conjunto L.D. de três vetores de M 2 (R) .
c) Um subespaço U de R4 tal que, U ≠ R 4 e dim (U) = 4.
d) Dois subespaços U e W de R 5 , tais que dim (U) = dim (W) = 3 e U ⊕ W.
12) Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:

(

)

a) T1 : R3 → R2 , T1 (x, y, z) = x 2 , y .
b) T2 : R 2 → R3 ,
c) T3 : R 3 → R ,

T2 (x, y) = (x + y, x,0).
T3 (x, y, z ) = 2x - 3y + 4z.

d) T4 : V → V , T4 (v) = - v.

e) T5 : R 2 → M 2 (R) ,

 x + 2y 0 
.
T5 (x, y ) = 
1 y




g)T7 : P3 (R) → M2 (R) ,

2

h) T8 : M 2x3 (R) → R ,

x+ y y 
T7 (xt 3 + yt 2 + zt + w) = 
 - z w + z .




 a b


T8  c d  = (- a + c,b + c ).
e f 



i) T9...
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