Algebra boile

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fev./1998 - V. 1.0

Prof. Eric Fagotto

Álgebra de Boole
O postulado básico da álgebra de Boole é a existência de uma variável boolena tal
que:
x≠0 ⇔ x=1
x≠1 ⇔ x=0
A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0,1}, duas
operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) e uma operação unária NOT
( ).
A operação OR é chamada de somalógica ou união, a operação AND é conhecida
por produto lógico ou interseção e a operação NOT é dita complementação ou ainda
inversão (não confundir com a soma de números binários). Estas operações são definidas
conforme as tabelas a seguir:
Operação

OR
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1

AND
0⋅0=0
0 ⋅1 = 0
1⋅0=0
1⋅1=1

NOT
0 =1
1= 0

Estas operações podem ser representadas por circuitos lógicoselementares
denominados portas ou gates:

OR

AND

NOT

(Atenção! Ler "+” como “ou” e “.” como “AND”, ressaltando a diferença com a
aritmética binária)
Um circuito de composto de gates é chamado de circuito lógico. O circuito
mostrado abaixo realiza a expressão lógica A . B + C + D . E

A
B

AB

AB+C

AB+C + DE

C
D
E

DE

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Prof. Eric FagottoAcrescentar a simbologia para as negações de OR e de AND!
Circuito Ou-Exclusivo (X-OR)
A tabela verdade para a função que o X-OR executa é:
AB
00
01
10
11

S
0
1
1
0

Uma expressão booleana para esta função seria (ela não é única!) S = AB + A B .
Peça aos alunos para montar o circuito.
Utiliza-se o seguinte operador para denotar a operação de X-OR: ⊕. Logo,
para a tabela anterior S =A⊕B
A

S

BComplementando o X-OR obtemos o circuito que é conhecido como coincidência,
nome que vem do fato de sua saída ser somente igual a “1” quando existir coincidência
nas suas entradas, i.e.:
ABS
001
010
100
111
Símbolo: acrescentar um inversor à saída do X-OR
Operador: , operação: S=A B.
Propriedades Básicas
Sendo x uma variável booleana, então:
• x+1=1
• x .0=0
• x+0=x

• x.1=x
• x+x=x
• x.x=x

A álgebrabooleana é comutativa e associativa com relação às duas operações binárias.
Sendo x, y, z variáveis booleanas, então

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Prof. Eric Fagotto

Comutativa

x + y = y+ x
x . y= y. x

Associativa

( x + y) + z = x + ( y + z )
( x . y) . z = x . ( y . x )

Complemento

x + x =1
x. x=0

Na álgebra booleana, a soma é distributiva sobre o produto eo produto é
distributivo sobre a soma,
Distributiva

x . ( y + z) = x . y + x . z

x + ( y . z ) = ( x + y) . ( x + z )

Notemos que estas propriedades apresentam-se aos pares e que em cada par, uma
equação pode ser obtida da outra mediante a troca de 1 por 0 e 0 por 1 além de
permutarmos os AND’s pelos OR’s . Isto é conhecido como princípio da dualidade da
álgebra de Boole (obs: todas estasexpressões podem ser provadas por indução finita,
bastando provar uma equação e a sua dual estará provada).
Expressões Booleanas
Define-se expressão booleana como a combinação de um número finito de
variáveis booleanas (0,1) através das operações booleanas (+), (.) e ( ). Qualquer
constante ou variável booleana é uma expressão booleana, e se T1 e T2 são expressões
booleanas, o mesmo acontecerá paraT1, T 2 , T1+T2, T1.T2 .
As propriedades a seguir formam o conjunto fundamental de ferramentas básicas
para a simplificação de expressões booleanas.
x+xy=x

propriedades de absorção

x ( x+y ) = x
x+xy = x + y

(

)

x x+y = xy

propriedades de consenso

xy+xz+yz=xy+xz

( x+y ) ( x+z ) ( y+z ) = ( x+y ) ( x+z )

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fev./1998 - V. 1.0

Prof. Eric Fagotto

Ex1:Simplifique a expressão F(x,y,z) = x y z + yz + xz
= z( x y + y + x)
= z( x + y + x)

= z( y + 1) = z.1 = z

Ou seja, F(x,y,z) independe dos valores de x e y, i.e., F(x,y,z) é F(x)!
É muito importante notar que na álgebra de Boole não são definidas operações
inversas e portanto, não são permitidos cancelamentos. Por exemplo, se A+B=A+C, não
significa que B=C. De fato, se A=B=1 e C=0
1+1=1+0,...
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