Alfabetos e linguagens

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ALFABETOS E LINGUAGENS: CONJUNTOS
A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.Conceitos essenciais: Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas; Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cadaelemento de um é também elemento do outro. Exemplo de conjunto: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }. Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas; Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se a é um elemento de A, podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever . Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento anão pertence ao conjunto A e podemos escrever .

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence". Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 0 N

Um símbolomatemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Alguns conjuntos especiais: Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto não vazio: Todo conjunto que tem pelo menos um elemento é chamado conjunto não vazio. Todo conjunto diferente do conjunto vazio é umconjunto não vazio. Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Subconjunto de um conjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A  B. Notas: a) todoconjunto é subconjunto de si próprio. ( A  A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (  A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d},{c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. Conjuntos numéricos fundamentais: Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Nota: é evidente que N  Z. Conjunto dos números racionais Q = {x | x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que"). Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7,...
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