Aleff

UNIDADE 1 – A ANTIDERIVADA

Introdução Nesta unidade, vamos estudar a antiderivação, que é a operação inversa da derivação. Continuando a considerar f  como a derivada de f , vamos passar a olhar f como a antiderivada de f  . Na derivação, por exemplo, investigamos a seguinte questão: qual é a função derivada da função f (x)  x 3 ? Achamos como resposta a esta pergunta f (x)  3 x 2 . Já na antiderivação, perguntamos: qual é a função cuja derivada é f (x)  3 x 2 ? Encontramos como resposta a função f (x)  x 3 . De modo esquemático, partindo de f chegamos, por derivação, a f  e, partindo de f  chegamos, por antiderivação, a f .

1.1 – A notação de diferenciais A derivada de uma função y  f (x) , conforme estudado anteriormente, pode ser definida y como sendo a função f ( x )  lim , onde x é uma variação não nula de x e x  0 x dy y  f (x  x)  f (x) é a correspondente variação de y. Usamos também a notação dx para indicar essa derivada, lembrando que esta notação é um símbolo e não uma fração, embora pareça ser e, em alguns casos, funcione como tal. (Lembre-se da regra da cadeia, na derivação de funções compostas, quando podemos pensar em cancelar o termo du como se estivéssemos lidando com frações:

dy du dy du dy .)     du dx du dx dx

Vamos considerar duas situações que nos permitem dar significado a cada um dos termos dy de e, com isso, mostrar que esse quociente é de fato a derivada f ( x ) , ou seja, que é dx dy verdadeira a igualdade f ( x )  . dx Primeiro, vamos considerar a função linear y  m x  b , cujo gráfico é uma reta. Quando o valor da variável independente passa de x para x   x , a variável dependente passa de y

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para y   y , ou seja, a um incremento  x da variável x corresponde um incremento  y da variável y. Observe isso no gráfico da Figura 1.1.

S
y

P

x

R

x

x  x

Figura 1.1 Com essas observações, podemos escrever que o coeficiente angular da reta y  m x  b é var iação de