a1 geometria analitica 2008000202 22931

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CAMPUS – REALENGO CURSO – MATEMATICA E.A.D TAREFA – A1
DISCIPLINA – GEOMETRIA ANALÍTICA PROF.: RICARDO
ALUNO – JORGE LUIZ PEREIRA DE FARIA MAT. 2008000202 DATA – 31/05/2008

EXERCÍCIOS EXTRAS – PÁGINA 20

1) Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2)

cos Ө = u.v/|u|.|v| u.v = (1) (-1) + (1) (2) + (4) (2) = 9

|u| = √(1)2 + (1)2 + (4)2 = 3√2 cos Ө = 9 / 3(√2) x 3 = (√2) / 2 |v| = √(-1)2 + (2)2 + (2)2 = 3 Ө = 45º

2) Determine o ângulo interno B do triângulo ABC, onde, A (3,-3,3), B (2,-1,2) e C (1,0,2)

u = BA = A-B = (1,-2,1) v = BC = C-B = (-1,1,0) u.v = (1) (-1) + (-2) (1) + (1) (0) = -3 |u| = √(1)2 + (-2)2 +(1)2 = √6 |v| = √(-1)2 + (1)2 + (0)2 = √2

cos B = u.v / |u|.|v| = -3 / √6 . √2 = - (√3) / 2 → B = 150º

3) Verifique se o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2-2) é retângulo

d(AB) = |AB| = √(2-2)2 + (3-1)2 + (1+1)2 = √8 d(A,C) = |AC| = √(2-2)2 + (3-2)2 + (1+2)2 = √10

d(B,C) = |BC| = √(2-2)2 + (1-2)2 + (-1+2)2 = √2 Usando Pitágoras: d(A,C) = √(√8)2 + (√2)2 = √10 → Portanto, o triângulo é retângulo.

4) Se u = (2,1,-1) forma um ângulo de 60º com o vetor AB, onde A(3,1,-2) e B(4,0,m), calcule m

Cos Ө = u . AB / |u|.|AB| , onde Ө = 60º → cos Ө = ½

AB = B – A = (1,-1,m+2) → u . AB = (2).(1) + (1).(-1) + (-1).(m+2) = - (m+1)

|u| = √6 |AB| = √2 + (m+2)2

½ = - (m+1) / √6 . √2 + (m+2)2 → m2 + 8m + 16 = 0 → m = - 4

5) Qual o valor de m para que os vetores u = mi + 5j – 4k e v = (m+1)i = 2j = 4k sejam ortogonais?

Condição: u . v = 0 (produto escalar nulo) u . v = m (m+1) + 5.2 + (-4).4 = 0 → m2 + m – 6 = 0 → m = 2 ou m = -3

6) Calcule n de modo que seja de 30º o ângulo entre os vetores u=(1,n,2) e j.

cos Ө = u.j / |u|.|j| → Ө=30º → cos Ө = (√3)/2 j = (0,1,0) u . j = 1x0 + nx1 + 2x0 = n

|u| = √n2 + 5 e |j| = 1 → (√3)/2 = n / √n2 + 5 → n2 = 15 → n = +/- √15

EXERCÍCIOS EXTRAS – PÁGINA 28

1) Dados os