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INE5403
F UNDAMENTOS DE
M ATEMÁTICA D ISCRETA
PARA A C OMPUTAÇÃO
P ROF. DANIEL S. F REITAS
UFSC - CTC - INE

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2008 – p.1/43

7 - E STRUTURAS A LGÉBRICAS
7.1) Operações Binárias
7.2) Semigrupos
7.3) Produtos e Quocientes de Semigrupos
7.4) Grupos
7.5) Produtos e Quocientes de Grupos

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2008 – p.2/43

P RODUTOS E Q UOCIENTES DE G RUPOS
Recursos que permitem obter novos grupos a partir de outros já conhecidos. Nota: Um grupo tem mais estrutura do que um semigrupo: resultados mais profundos do que os análogos para semigrupos

Teorema 1: Se G1 e G2 são grupos,então G = G1 × G2 é um grupo com uma operação definida por:
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 , b1 b2 )

Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2008 – p.3/43

P RODUTOS E Q UOCIENTES DE G RUPOS
Exemplo: Sejam G1 e G2 o grupo Z2 .
Nota: 0 e 1 em vez de [0] e [1]
Tabela de multiplicação de G = G1 × G2 :
(0, 0)

(1, 0)

(0, 1)

(1, 1)

(0, 0)

(0, 0)

(1, 0)

(0, 1)

(1, 1)

(1, 0)

(1, 0)

(0, 0)

(1, 1)

(0, 1)

(0, 1)

(0, 1)

(1, 1)

(0, 0)

(1, 0)

(1, 1)

(1, 1)

(0, 1)

(1, 0)

(0, 0)

G é um grupo de ordem 4 ⇒ deve ser isomórfico a V ou a Z4
Vemos (⇒) que o isomorfismo é a f : V → Z2 × Z2 dada por: f (e) = (0, 0)

f (a) = (1, 0)

f (b) = (0, 1)

f (c) = (1, 1)

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Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2008 – p.4/43

(G RUPOS DE ORDEM 4)
Tabelas de multiplicação para grupo de ordem 4: e a

b

c

e

a

b

c

e

a

b

c

e

a

b

c

e

e

a

b

c

e

a

b

c

e

a

b

c

e

a

b

c

a

a

e

c

b

a

e

c

b

a

b

c

e

a

c

e

b

b

b

c

e

a

b

c

a

e

b

c

e

a

b

e

c

a

c

c

b

a

e

c

b

e

a

c

e

a

b

c

b

a

e

(1)

(2)

(3)

(4)

Grupos das tabelas (2), (3) e (4) são isomórficos.
De fato, existem exatamente 2 grupos não-isomórificos de ordem 4: o grupo da tab. (1) é chamado de “grupo Klein 4” (denotado por V ) o grupo da tab. (2) é denotado por Z4
(re-rotulando os elementos de Z4 resulta nesta tabela.)

✷

Prof.