2014 p3

Prova de Cálculo e Geometria Analítica II

Prof. Bruno Mendonça Rey dos Santos

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Obs.: Respostas sem cálculos e/ou justificativas não serão consideradas.
1. (0.5 pt) Defina função.
2. Considere o conjunto A := { (x, y) ∈ R2 | y 2 − x2 < 0}.
a) (0.5 pt) Desenho o conjunto A.
b) (0.5 pt) Encontre o conjunto dos pontos de acumulação de A e desenhe o conjunto encontrado.
c) (0.5 pt) A é aberto?
d) (0.5 pt) A é fechado?
3. Seja α a função dada por α(t) =

√

2 − t2 , t, 2t .

a) (1 pt) Encontre o domínio e o contradomínio de α.
b) (1 pt) Desenhe a imagem de α.
c) (1 pt) α é contínua? Por que?
d) (1 pt) α é diferenciável? Por que?
4. Considere a função γ : R → R2 dada por γ(t) =



(−[t − 2]2 , [t − 2]2 ) ,


([t − 2]2 , −[t − 2]2 ) ,

se t ≤ 2; se t > 2.

a) (1 pt) Desenhe o traço de γ.
b) (1 pt) Encontre o conjunto dos pontos nos quais γ é contínua e justifique.
c) (1 pt) Encontre o conjunto dos pontos nos quais γ é diferenciável, encontre γ ′ e justifique.
5. Seja F : R → R3 a função dada por
F (t) = (2, 2 cos(t) − 2t sen(t), 2 sen(t) + 2t cos(t)) .
Suponhamos que a função F descreva a força resultante atuando sobre uma partícula de massa
2 a cada instante t. Suponhamos ainda que no instante t = 0 a velocidade da partícula seja v(0) = (0, 0, 0) e que a posição da partícula no instante t = 1 seja o ponto (2, 1, 1).
a) (1 pt) Calcule a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1.
b) (1 pt) Encontre a reta tangente à trajetória da partícula no instante t = 1.
c) (1 pt) Encontre a função que fornece a posição da partícula a cada instante.