2 Limite Fundamental

Função Exponencial
Definição: Uma função da forma f(x) = a x, com a > 0 e a ≠ 1 é uma função exponencial.
Exemplo
f(x) = 2 x x 2x
0
20 = 1
0,5
2 = 1,41...
1
2
2
22 = 4
-1 2-1 = 12 = 0,5
-2 2-2 = 14 = 0,25

5
4
3
2
1
0
-3

-2

-1

0

1

2

3

0

1

2

3

Note que lim 2 x = +∞ e que lim 2 x = 0 x → +∞

x → −∞

Exemplo:

f ( x) = ( 1 2 ) x 0
1
2
-1
-2

x

(½)x
1
½
¼
2
4

5
4
3
2
1
0
-3

-2

-1

Observe que lim ( 12 ) x = 0 e que lim ( 1 2 )x = +∞ x → +∞

x → −∞

Em geral, para uma função expone ncial, temos que y x

Se a > 0 e a < 1 então a função f(x) = ax apresenta o seguinte formato y Se a > 1 então a função f(x) = a x apresenta o seguinte formato

x

C.M.C.L. 2009

Segundo Limite Fundamental
Exemplo:
x

 1
Considere a função f (x ) = 1 +  .
 x
1
1
> 0 e 1 + ≠ 1. Portanto, para x x
- {[-1, 0]}= = {x > 0}∪{x<-1}

Para que esta função esteja bem defina, é preciso que 1 + o domínio desta função temos Dom f =

x

 1
O esboço do gráfico da função f (x ) = 1 +  é
 x
12
10
8
6
4

e

2
0
-10

-5

0

5

10

x

1

Como avaliar lim 1 +  ? x x → +∞ x  1 f (x ) = 1 + 
 x

x

1

(1 + 1)1 = 2

2

 1
2
1 +  = (1,5) = 2,25
 2
5
 1
5
1
+

 = (1,2) = 2,48832
 5

5
10
100
1000

2

1

1 + 
 10 

10

= (1,1) = 2,5937425
10

100

1 

1 +
 = 2,7048138
 100 
1000
1 

1
+
= 2,7169239


 1000 

C.M.C.L. 2009

E, temos que

 lim 1 + x → +∞

x

1
 = e ≈ 2,7181828... x x

1

Este é o chamado 2º limite fundamental: lim  1 +  = e ≈ 2,7181828 ... x x → +∞

Exemplo: x 1

Calcule lim 1 +  . x x → −∞
Solução
Fazendo uma mudança de variáveis dada por x = - (t+1), temos que x = -(t + 1) ⇔ t = -(x + 1) se x ? -∞ ⇒ t + 1 ? +∞ ⇒ t ? +∞
Portanto,
x

1

1

 lim 1 +  = lim 1 +

x
− (t + 1)  x → −∞ t → +∞
1 

= lim 1 +

− (t + 1)  t → +∞

− (t +1)

t +1

t +1

=

1 

= lim 1 −

t + 1 t → +∞ t +1

 t + 1
 1
= lim 
= lim 1 + 

t t → +∞ t  t → +∞


 1  t  1 
= lim 1 +  1 +  = e ⋅ 1