2 Concavidadeinflexaotestesegundaderivada

Concavidade

Teste da Segunda Derivada

MAT146 - C´alculo I
Edson Jos´e Teixeira

21 de abril de 2015

MAT146 - C´ alculo I

UFV

Concavidade

Teste da Segunda Derivada

Considere a ilustra¸c˜ao abaixo

MAT146 - C´ alculo I

UFV

Concavidade

Teste da Segunda Derivada

Sejam f uma fun¸c˜ao deriv´avel em x = c e r a reta tangente ao gr´afico de f no ponto de abscissa x = c. Note que a concavidade do gr´afico de f est´a voltada para cima e a reta tangente est´a localizada abaixo do gr´afico da fun¸c˜ao f para qualquer x pertencente a um intervalo aberto contendo
c.
A equa¸c˜ao da reta tangente ´e dada por y = f (c)(x − c) + f (c)
= f (c)x + [f (c) − cf (c)]

Isso nos motiva a seguinte defini¸c˜ao:

MAT146 - C´ alculo I

UFV

Concavidade

Teste da Segunda Derivada

Defini¸c˜ao
Seja f uma fun¸c˜ao deriv´avel em um ponto c de seu dom´ınio. O gr´afico de f ´e cˆ oncavo para cima em c se existir um intervalo aberto
I ⊂ Dom(f ) contendo c tal que f (x) > f (c)(x − c) + f (c), para todo x ∈ I \ {c}.
Geometricamente, o gr´afico de uma fun¸c˜ao f ´e cˆ oncavo para cima em um ponto c se a reta tangente em c est´a localizada abaixo do gr´afico da fun¸c˜ao em uma vizinhan¸ca do ponto c.

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UFV

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Teste da Segunda Derivada

De maneira an´aloga, define-se concavidade para baixo

MAT146 - C´ alculo I

UFV

Concavidade

Teste da Segunda Derivada

Defini¸c˜ao
Seja f uma fun¸c˜ao deriv´avel em um ponto c de seu dom´ınio. O gr´afico de f ´e cˆ oncavo para baixo em c se existir um intervalo aberto
I ⊂ Dom(f ) contendo c tal que f (x) < f (c)(x − c) + f (c), para todo x ∈ I \ {c}.
Geometricamente, o gr´afico de uma fun¸c˜ao f ´e cˆ oncavo para baixo em um ponto c se a reta tangente em c est´a localizada acima do gr´afico da fun¸c˜ao em uma vizinhan¸ca do ponto c.

MAT146 - C´ alculo I

UFV

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Teste da Segunda Derivada

Exemplo
Sejam f , g : R → R definidas por f (x) = x 2

e

g (x) = −x 2 .

O gr´afico de f ´e cˆ oncavo para cima em x = 0