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CÁLCULO: VOLUME I

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA
Departamento de Análise - IME
UERJ

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Copyright by Mauricio A. Vilches
Todos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total

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PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?
Isso depende bastante de até onde você quer chegar."
Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Atravésdos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo.
Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade
humana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza.
Historicamente,o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemas
de integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos
econômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera,dentre outros. Como exemplos de
problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas por
curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula.
Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por Isaac
Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época,
Gottfried Wilhelm Leibniz,independentemente de Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre
derivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz
são as universalmente usadas.
O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integral
de uma variável comsimplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal
da disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos.
O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. As
provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice,
foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicaçõesbibliográficas adequadas e estão
incluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados.
Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é
que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. Asexpressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser
encaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a
apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos.
Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial
e Integral de uma variável. Não podemosdeixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao
aprendizado da disciplina.
Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de
algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M.

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Alves pela digitação. Certamente, todos os errossão exclusivamente de responsabilidade dos
autores.

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa
Rio de Janeiro

Conteúdo
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INTRODUÇÃO
1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Plano...
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