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Notas de Aula
Exemplo: Ache as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial

C´ alculo III

xy �� + y � + xy = 0, y(0) = 1.

Seja y(x) =

∞
�

an xn . Como

n=0

y(x) =

∞
�

a n x n = a0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . + a n x n + . . .

n=0
�

2

y (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x + . . . + nan x

n−1

+ ... =

∞
�

nan xn−1

n=1

y �� (x) = 2a2 + 6a3 x + . . . + (n − 1)nan xn−2 + . . . =

∞
�

n=2

n(n − 1)an xn−2

Logo teremos

x

∞
�

n=2
∞
�

n(n − 1)an xn−1 +

n=2
∞
�

n=2

∞
�

�

n(n − 1)an xn−2 +

n(n − 1)an xn−1 +
��

n→n+2

(n + 1)(n + 2)an+2 xn+1 +

n=0
∞
�

∞
�

n=−1
∞
�

(n + 1)(n + 2)an+2 xn+1 + a1 +

n=0

�

∞
�

nan xn−1 + x

n=1

∞
�

n=1
∞
�

n=1

�

a1 +

n=0

an x n = 0

n=0

nan xn−1 + nan xn−1 +
��

n→n+2

�

(n + 2)an+2 xn+1 +
(n + 2)an+2 xn+1 +

n=0

∞
�

∞
�

∞
�

n=0
∞
�

an xn+1 = 0 an xn+1 = 0

n=0
∞
�

n=0
∞
�

an xn+1 = 0 an xn+1 = 0

n=0

{[(n + 1)(n + 2) + (n + 2)] an+2 + an } xn+1 = 0

Igualando potˆencia `a potˆencia vemos que a1 = 0, a0 ´e indeterminado e os outros coeficientes s˜ ao dados pela rela¸c˜ ao de recorrˆencia:
(n + 2)2 an+2 = −an , n ≥ 0.
Logo teremos a0 2 a0 a0 x + 2 4 x4 − 2 6 x6 + . . .
22
4 ·2
6 ·2 y(0) = 1 ⇒ a0 = 1 ⇒
∞
�
(−1)n � x �2n y(x) = J0 (x) = n!2 2

y(x) = a0 −

n=0

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Notas de Aula
Exemplo:

C´ alculo III

y �� + y � = ex
Expandindo ex por Taylor teremos
∞
�

n=2

n(n − 1)an x

n−2

+

n=2

nan x

n=1

�

teremos
∞ �
�

∞
�

n−1

��

n→n−1

=

�

∞
�
xn

n!
� �� �

n=0

n→n−2

1 n(n − 1)an + (n − 1)an−1 −
(n − 2)!

�

xn−2 = 0

portanto a rela¸c˜ao de recorrˆencia, para n ≥ 2 ser´ a an =

1 an−1 −
,
n! n logo a solu¸c˜ ao ser´a da forma
�
� x2 x3 x2 +
+ ... +
+ ... y(x) = a0 + a1 x −
2
6
2
Exemplo: Resolva y �� − y � + x2 y = 0
Supondo y =

∞
�

am xm teremos

m=0
∞
�

m=2

m(m − 1)am xm−2 −

∞
�

n=2

n(n − 1)an x

2a2 + 6a3 x − a1 − 2a2 x +
��
�
�
=0

�

n=4

n−2

−

∞
�

m=1

�

∞
�

am xm−1 +
��

m→n−1

an−1 x

n=2

n−2

�

+

m=0

�

∞
�

��

m→n−4

�

an−4 xn−2 = 0

[n(n − 1)an − an−1 (n − 1) + an−4 ] xn−2