Uma nova demostração

Desenvolvimento de Serie de Taylor:
Estudo de um caso particular. Uma nova demonstração!
Objetivo: estudo de caso de serie em que os sinais se alternam de dois em dois termos da serie. Motivação: uma prova de calculo (MM2) no IFSP, Instituto de Educação em Ciência e tecnologia de São Paulo, foi proposto a seguinte questão: representar em serie de Taylor a função f ( x)  sen( x) em torno do ponto. Aplicando as derivadas obtemos:

 2 ( X )  f VIII  sen( )  4 2  2 f ' ( x)  cos( x)  f V ( X )  f IX  cos( )  4 2 f 0 ( x)  sen( x)  f
IV

 2   sen( )   4 2  2 f """ ( x)   cos( x)  f VII ( X )  f XI   cos )   4 2 Desenvolvendo a serie f ( x)  sen( x) obtemos: f ' ' ( x)   sen( x)  f VI ( X )  f
X

f ( x) 
Fazendo:

f 0 (a) f ' (a) f '' (a) f ''' (a) f n (a) ( x  a)0 + ( x  a) + ( x  a) 2 + ( x  a)3 +...+ ( x  a) n +...= 0! 1! 2! 3! n! a 

4

temos que a serie fica:



2  2  2  2  2  2  ( x  )0 + ( x  )1 ( x  )2 ( x  )3 + ( x  )4 + ( x  )5 ...= 2  0! 4 2  1! 4 2  2! 4 2  3! 4 2  4! 4 2  5! 4

Observe:

f ( x)  sen( x) = 

(

2  2  ( x  )0 + ( x  )1 2  0! 4 2  1! 4

) + (- 2 22! ( x   ) - 2 23! ( x   ) ) + (+ 2 24! ( x   ) + 4 4 4
2 3 4

2  ( x  )5 2  5! 4 sen(x) =+

)
0

E colocando o sinal em evidencia aos pares obtemos o seguinte:

( 2 2 ! ( x   ) + 0 4

2  2  2  ( x  )1 ( x  )2 + ( x  )3 2  1! 4 2  2! 4 2  3! 4

)(

) + ( 2 24! ( x   ) + 2 2! ( x   ) ) 4 5 4
4 5

|Podemos reescrever como um somatório em pares:

f ( x)  f 2 n p ( x)  f 2 n 1 i ( x)
Onde

=

 n0 

f

2n

p

( x) , derivadas de ordem par e

 2 (1) n  2 (1) n  ( x  )2n +  ( x  ) 2 n 1 2 (2n)! 4 4 n  0 2 ( 2n  1)! 2 n1 f i ( x) derivadas de ordem impar.

Pondo em evidencia

2 2

e

(1)

n

ficamos com: =

2 f (x)  2

( n 0



(1) n  2n  (1) n  (x  ) +  ( x  ) 2 n 1 (2n)! 4 4 n  0 (2n