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Ajuste de curvas

5-1

Ajuste de Curvas Pelo Método dos Mínimos Quadrados
Introdução
Seja um conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numérica ou experimentalmente. De modo a calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados, ajustamos uma função y = f(x) através do chamado Método dos Mínimos Quadrados.
Considere uma equação relacionando a variável y com a variável independente x, como y = f ( x ) , onde y indica que este é o valor aproximado de y. Queremos encontrar a função y = f ( x ) , cujo desvio em relação aos valores y seja expresso como δi = y i − y i .
2
Por uma questão de conveniência trabalharemos com o desvio quadrático δi = (y i − y i )2 .
A função y = f ( x ) que melhor ajusta os pontos (x, y) dados é aquela que minimiza o somatório dos desvios quadráticos S: n S=

∑

n

δi2 =

i =1

∑ (yi − yi )2

(1)

i =1

A condição de minimização da função S é satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja, necessitamos calcular a derivada da função S em relação aos parâmetros de ajuste da função y = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equações denominado equações normais que conduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela função y = f(x) escolhida. Para cada tipo de função de ajuste existe um sistema de equações normais que minimiza a soma dos desvios quadráticos S.
Em seguida, faremos a dedução das equações normais para alguns tipos de funções mais comumente empregados no ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados.

Ajuste Linear
Se a função de ajuste for a função linear na forma: y = a 0 + a1x

(2)

onde a0 e a1 são os coeficientes a serem determinados pelo Método dos Mínimos Quadrados. A condição de minimização do somatório dos desvios quadráticos é dada pelas equações:
∂S
=0
∂a 0 e Cálculo Numérico e Computacional

(3)

∂S
=0
∂a 1

(4)

C.Y. Shigue

Ajuste de curvas

5-2

Substituindo-se (1) na equação (3), resulta: n n


∂S
∂ 
∂ 

2