Topologia produto

Topologie produit
1 Introduction
La topologie produit va nous permettre de fabriquer des espaces topologiques. Mais il faudra la définir en sorte que les propriétés topologiques des espaces qui composent le produit remontent sur la topologie du produit. Ainsi, si les espaces de départ sont compacts, ou connexes, il sera appréciable qu’il en soit de même sur de leur produit.

2 Notions de base soit i 1 k

Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur Xi l’application Xi qui a un élément x x1 xk de X associe Πi x xi . Πi : X Définition On appelle topologie produit, la topologie la moins fine sur X qui rend continue les applications Πi : X Xi pour i=1..k. C’est à dire: si Oi est un ouvert de Xi , alors on veut que Π 1 Oi soit un ouvert de X. Remarque Cette définition est bien posée car il existe toujours une topologie sur X rendant continue les Πi . Au pire, il suffit de mettre sur X la topologie discrète .
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Notation On notera

la topologie produit.
1

Démonstration Il suffit de relire la définition de la topologie engendrée par un ensemble: c’est la topologie la moins fine pour laquelle les éléments de l’ensemble sont des ouverts de cette topologie. On a d’ailleurs la définition suivante.
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Définition Les sous-ensembles O1 Ok où O1 les ouverts élémentaires de la topologie produit.
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1

Ok

k

sont appelés

Remarque La propriété précédente pourrait s’exprimer comme suit: La topologie produit est la topologie engendrée par les ouverts élémentaires.

1



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Proposition La topologie produit est la topologie engendrée par l’ensemble Π 1 k . i; i
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X

∏ Xi

§§

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On considère dans ce chapitre une famille d’espaces topologiques

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Xi

i

i 1 k

et

Oi ; Oi

3 Suites dans un espace topologique produit
Théorème Soit xn n IN une suite de X. Si xn n IN est convergente sur X pour la