TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE TALES

Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares paralelas entre si.
Transversal do feixe de retas paralelas é uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe.
Pontos correspondentes de duas transversais são pontos destas transversais que estão numa reta do feixe.
Segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes.

A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes.
AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes.

Propriedades

1ª Propriedade - Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas distintas e um segmento de uma delas é dividido em p partes congruentes entre si e pelos pontos de divisão são conduzidas retas do feixe, então o segmento correspondente da outra transversal:
1) Também é dividido em p partes
2) E essas partes também são congruentes entre si.

Demonstração

1ª parte: AB e A’B’ são segmentos correspondentes e AB é dividido em p partes por retas do feixe.
Se A’B’ ficasse dividido em menos partes (ou mais partes), pelo menos duas retas do feixe encontrar-se-iam em pontos de AB (ou de A’B’), o que é absurdo pois as retas do feixe são paralelas.

2ª parte: AB é dividido em partes congruentes a x.
Pelos pontos de divisão de A’B’, conduzindo paralelas a AB, obtemos um triângulo para cada divisão. Todos os triângulos são congruentes pelo caso ALA (basta notar os paralelogramos e os ângulos de lados respectivamente paralelos que são obtidos).

Com isso, A’B’ é dividido em partes congruentes pelos pontos da divisão .

2ª Propriedade - Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Hipótese: AB e CD são dois segmentos de uma transversal, e A’B’ e C’D’ são os respectivos correspondentes da outra. Tese: AB/CD = A’B’/C’D’

TEOREMAS DAS