Teorema De Laplace

Introdução

No campo da álgebra linear, o teorema de Laplace, assim denominado em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático utilizado para simplificar o cálculo de determinantes em matriz quadrada, proporcionando a possibilidade de decompô-lo em números menores.
Para entendermos melhor como chegaremos a sua aplicação em matrizes, vamos compreender o que é uma Matriz, Determinante, Cofator e Menor Complementar;

Conceituando matriz

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz ,
Temos:

Determinante

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.
Calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da diagonal secundária.
Nas matrizes de ordem 3 x 3 utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente.
Demonstração geral da Regra de Sarrus