Plano de aula

Superf´ ıcies e Curvas no Espa¸o c
Reginaldo J. Santos Departamento de Matem´tica-ICEx a Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi [e-mail] 11 de dezembro de 2001

1

Qu´dricas a

Nesta se¸ao estudaremos as superf´ c˜ ıcies que podem ser representadas pelas equa¸oes quac˜ dr´ticas nas vari´veis x, y e z, ou seja, da forma a a ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + f yz + gx + hy + iz + j = 0, em que a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ∈ R, com a, b, c, d, e, f n˜o simultaneamente nulos. Vamos nos a limitar neste cap´ ıtulo ao estudo de casos especiais da equa¸ao acima. c˜

1.1

Elips´ide o z z

x

y

x

y

Figura 1: Elips´ide de equa¸ao o c˜ 1

x2 a2

+ y2 + z2 = b c

2

2

Figura 2: Elips´ide e interse¸oes com os plao c˜ nos z = k

Um elips´ide ´ um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a o e equa¸ao c˜ 1

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, a2 b c em que a, b e c s˜o n´meros reais positivos. a u z z

(1)

x

y

x

y

Figura 3: Elips´ide e interse¸oes com os plao c˜ nos y = k

Figura 4: Elips´ide e interse¸oes com os plao c˜ nos x = k

Observe que se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜o (x, y, −z) tamb´m satisfaz, por isso dizemos a e que o elips´ide (1) ´ sim´trico em rela¸ao ao plano xy. Tamb´m (x, −y, z) satisfaz (1), por o e e c˜ e isso dizemos que o elips´ide (1) ´ sim´trico em rela¸ao ao plano xz. O mesmo acontece com o e e c˜ (−x, y, z), por isso dizemos que o elips´ide (1) ´ sim´trico em rela¸ao ao plano yz. Se (x, y, z) o e e c˜ satisfaz (1), ent˜o (−x, −y, z) tamb´m satisfaz, por isso dizemos que o elips´ide (1) ´ sim´trico a e o e e em rela¸ao ao eixo z. O mesmo acontece com (−x, y, −z), por isso dizemos que o elips´ide c˜ o (1) ´ sim´trico em rela¸ao ao eixo y. O mesmo acontece com (x, −y, −z), por isso dizemos e e c˜ que o elips´ide (1) ´ sim´trico em rela¸ao ao eixo x. Finalmente se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜o o e e c˜ a (−x, −y, −z) tamb´m satisfaz, por isso dizemos que