Matemática discreta

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Números Naturais
Sumário
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 6 8 10 O Conjunto dos Números Naturais . . . . . . . . . . O Axioma da Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . As Duas Operações: Adição e Multiplicação . . . .

A Ordenação nos Números Naturais . . . . . . . . . Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1

Introdução
Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.

Leopold Kronecker
Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois objetos principais de que se ocupa a Matemática. O outro objeto é o espaço, juntamente com as guras geométricas nele contidas. Os números são objetos abstratos que foram desenvolvidos pelo homem para servir como modelos que permitem contar e medir e, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Os compêndios tradicionais dizem o seguinte: Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma medição e o resultado é um número real.

Nos padrões atuais de rigor matemático, o trecho acima não pode ser considerado como uma denição matemática, pois faz uso de idéias (como grandeza, unidade, discreta, contínua) e processos (como comparação) de signicado não estabelecido. Entretanto, todas as palavras que nela aparecem possuem um

sentido bastante claro na linguagem do dia-a-dia. Por isso, embora não sirva para demonstrar teoremas a partir dela, a denição tradicional tem o grande mérito de nos revelar para que servem e por qual motivo foram inventados os números. Isto é muito mais do que se pode dizer sobre a denição que encontramos no nosso dicionário mais conhecido e festejado, conforme reproduzimos a seguir.

Número.

[Do lat. numeru.] S.m. 1. Mat. O