Matematica

Sequências e Séries
Cálculo III - ECT 1312
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Fevereiro 2012

Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

Fevereiro 2012

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Sequências
Definição
Uma sequência ou sucessão (infinita) de números reais é uma função f : N → R, que associa a cada número natural um número real, ou seja:

1,
2,
···
↓
↓ f (1), f (2), · · ·

n,
···
↓ f (n), · · ·

Notação
Em vez de f (n), valor da função sobre o natural n, utilizamos o símbolo an
(leia: a índice n). Os números a1 , a2 , · · · , an são chamados de termos ou elementos da sequência, e o n-ésimo termo, an , de termo geral. Uma sequência será denotada por (an ) ou (an )∞=n0 . n Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

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Sequências
Exemplo 1
Uma sequência pode ser definida listando seus termos em ordem até que se reconheça um padrão, ou através do seu termo geral ou ainda de uma relação de recorrência.
(a) (0, 2, 4, 6, 8, · · · ),
(b) (an ) := (2n)∞ ,
0
(c) a0 = 0 e an+1 = an + 2.
Note que os exemplos dos ítens (a), (b) e (c) representam a mesma sequência, a saber, a sequência dos números pares.

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Sequências
Exercício 1
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.
(a) (sn ) := (∑∞ 1 k) k= 1
(b) (bn ) := ( Dn √ 2 2 dxdy)∞=1 , onde Dn é a coroa circular n x +y
1
≤ x2 + y2 ≤ 1. n2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN)

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Sequências
Exercício 1 (solução)
Liste os termos das seguintes sequências definidas abaixo.
(a) s1 = 1, s2 = 1 + 2, s3 = 1 + 2 + 3, · · ·
2π

(b) bn = 0

1
1
n

drdθ =

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2π(n−1)
,
n

π logo: b1 = 0, b2 = π, b3 = 43 , · · · .

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Limite de uma sequência
Definição
Considere uma sequência de termo geral an e um núnero real L. Dizemos que an tem limite L, se para todo ε > 0, existir um natural K tal que n > K implicar