Matematica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Introdução à Teoria dos Números

Lista de exercícios: Princípio da Indução Matemática

1) Prove usando um dos princípios de Indução Matemática:

a) para todo n inteiro n > 0.

Resolução:

Usaremos a 1ª forma de indução.

Seja P(n) a afirmação:
P(1) é verdadeira, pois
Suponhamos que P(k) seja verdadeira e provemos que P(k+1) também o é.
Se P(k) é verdadeira, então (hipótese de indução).

Temos que pela hipótese de indução.
AssimLogo P(k+1) é verdadeira.

c) para todo n inteiro n > 0.

Resolução:

Usaremos a 1ª forma de indução.

Seja P(n) a afirmação: .
P(1) é verdadeira, pois .
Suponhamos que P(k) seja verdadeira e provemos que P(k+1) também o é.

Se P(k) é verdadeira, então (hipótese de indução).
Queremos mostrar que

Temos que

pela hipótese de indução.
Assim
Logo P(k+1) é verdadeira.

e) para todo n inteiro n > 0.

Resolução:

Usaremos a 1ª forma de indução.
Seja P(n) a afirmação:
P(1) é verdadeira, pois .
Suponhamos que P(k) seja verdadeira e provemos que P(k+1) também o é.
Se P(k) é verdadeira, então (hipótese de indução).
Queremos mostrar que:

Somando nos dois lados da desigualdade da hipótese de indução, temos: (1)
Como para todo k natural, então , ou seja,

. Assim,

Logo pela desigualdade (1) temos e portanto P(k+1) é verdadeira.

f) para todo n inteiro n > 0.

Resolução:

Usaremos a 1ª forma de indução.

Seja P(n) a afirmação: .

P(1) é verdadeira, pois .

Suponhamos que P(k) seja verdadeira e provemos que P(k+1) também o é.
Se P(k) é verdadeira, então (hipótese de indução).

Queremos mostrar que:

Multiplicando a desigualdade da hipótese de indução por 2 dos dois lados temos:

Logo .

g) para todo n inteiro n > 3.

Resolução:

Usaremos a 1ª forma de indução.

Seja P(n) a afirmação:

P(4) é