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O Integral de Riemann
Partições de intervalos
Definições: Seja a, b um intervalo, com b > a.
Chama-se partição (ou decomposição) de a, b a qualquer conjunto P = x 0 , x 1 , … , x n , de nºs reais, tal que a = x 0 < x 1 < x 2 0 existe uma partição P δ de a, b tal que n P δ ⊆ P ⇒ |∑ ft j x j − x j−1  −I|< δ j=1 Sf,P

para todas as escolhas de t j ∈ x j−1 , x j , 1 ≤ j ≤ n.
Então
I = lim Sf, P.
‖P‖→0

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Integrais de Riemann 2

Definição:
Seja a, b um intervalo com b > a.
Uma função f : a, b → R, limitada em a, b, é integrável à
Riemann em a, b se existe I ∈ R tal que lim Sf, P = I.

‖P‖→0

Notação: b I = ∫ fxdx a → integral definido de f entre a e b

Terminologia: f → função integranda
a, b → intervalo de integração a e b → limites de integração x → variável de integração dx → acréscimo infinitésimal

∫ → símbolo de integral
Nota: Se nada for dito em contrário, por “função integrável” deverá entender-se “função integrável à Riemann”.
No entanto, há outras noções (não necessariamente equivalentes a esta) de integrabilidade.

Ana Matos (versão de 3 Jan 08)

Integrais de Riemann 3

Observação: Por definição, se f é integrável à Riemann em
a, b, então f é limitada em a, b.
Mas o recíproco não é verdadeiro.
Proposição: As funções contínuas em intervalos fechados e limitados a, b são integráveis à Riemann.
Observação: Há funções que são integráveis à Riemann num intervalo e não são contínuas nesse intervalo.
Pode provar-se que:

•

Qualquer função seccionalmente contínua em
a, b (fechado e limitado) é integrável à Riemann.
Nota: Uma função f definida em em a, b diz-se seccionalmente contínua em a, b se é contínua em a, b excepto num número finito pontos e nesses pontos de descontinuidade existem e são finitos os limites laterais de f.

Pode também provar-se que:

•

Qualquer função monótona em a, b (fechado e