Lista de exercício álgebra linear

1. Sejam A= 1 2 3 2 −1 1 , B= −2 0 1 3 0 1  −1 , C= 2  eD= 4  2 −1 .

Determine a ordem de cada uma das matrizes e quais somas e produtos podem ser efetuados entre duas matrizes distintas das que foram dadas acima. Nos casos em que tais operações forem possíveis, determine os seus resultados. Calcule a transposta de cada matriz acima. 2. Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo. (a) (−A)t = −At ; (b) (A + B)t = B t + At ; (c) (AB)t = At B t ; (d) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0; (e) (k1 A)(k2 B) = (k1 k2 )AB; (f) (−A)(−B) = −(AB); (g) Se AB = 0, então BA = 0; (h) Se A2 = AA = 0, então A = 0; (i) Se for possível efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. 3. Seja A = 2 x2 . Se A = At , então quanto vale x? 2x − 1 0

4. Dizemos que uma matriz A é simétrica se At = A e que A é antissimétrica se At = −A. Mostre que (a) Se Am×n é uma matriz qualquer, então as matrizes Bn×n = At A e Cm×m = AAt são simétricas;
1 (b) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as matrizes B = 2 (A + At ) e C = 1 (A − At ) são, respectivamente, simétrica e antissimétrica; 2

(c) Usando o item anterior, mostre que toda matriz pode ser escrita de forma única como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica; (d) Mostre que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a matriz nula. 5. Sejam A e B matrizes de ordem n × n, tais que AB = BA. Demonstre a fórmula do binômio de Newton: n (A + B) = k=0 n

n k

Ak B n−k , onde

n k

=

n! . k!(n − k)!

Se AB = BA, mostre que a fórmula acima é falsa. 6. Se A = 1 2 3 −1 eB= 2 0 1 1  , calcule AB e BA.

7. Sejam E1 =

1 0 0

 1 0 3 e A =  2 1 2  , calcule E1 A. 3 2 1

8. Sejam A uma matriz de ordem n × n e Ei a n-úpla que possui todas as coordenadas nulas, com exceção da i-ésima, que é 1. Mostre que Ei A = Ai , isto é, a i-ésima linha da matriz A, e que At Ei = Ai , isto é, a i-ésima coluna da