interpolação

Interpolação

Objetivo
 Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas (polinômios). g(x) é usada em substituição à função f.

Problemática
 Essa necessidade de efetuar esta substituição surge quando:




Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor de um ponto no tabelado. Quando a expressão da função é complicada de mais para ser integrada ou diferenciada.

Em equação
 Consideremos n+1 valores distintas: x0, ..., xn
(nós da interpolação) e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), ..., f(xn).
Queremos determinar a função g(x) tal que: g(x0)=f(x0) .... g(xn)=f(xn) Graficamente

Classe de funções
 Em nosso caso, consideramos a função g(x) com um elemento da classe de funções polinomiais.  Tentaremos aproximar a função f(x) a partir de um conjunto de valores com uma função do tipo: a0+a1x+...+anxn

Interpolação polinomial
 Dados os n+1 pontos (x0,f(x0)), ..., (xn,f(xn)), queremos aproximar f(x0) por um polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n:


f(xk)=pn(xk) ; k=0,1,...n

 Questões: esse polinômio existe? Ele é único? Interpolação polinomial
 Considerando que p o polinômio escreve-se pn(x)= a0+a1x+...+anxn , a condição f(xk)=pn(xk) ; k=0,1,...,n produz o sistema seguinte de n+1 equações , n+1 variáveis:
 a0  a1 x0  ...  an x0 n  f ( x0 )

n
 a0  a1 x1  ...  an x1  f ( x1 )

.........
 a  a x  ...  a x n  f ( x ) n n n  0 1 n

Interpolação polinomial: matriz
 A matriz do sistema é:
1

1

A
1

1

x0 ... x0 n  n  x1 ... x1 
... ... ... 

n xn ... xn 

 Essa matriz é uma matriz de Vandermonde, desde que x0, ..., xn são pontos distintos, temos det A0. Então o sistema admite uma solução única.

Prova
 Podemos proceder da forma seguinte: O determinante pode