Interpolação linear

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

CÁLCULO NUMÉRICO
PROF.: PATRÍCIA TAVARES
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INTERPOLAÇÃO LINEAR

1. INTRODUÇÃO

Interpolação é um método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais conhecidos. Em engenharia e ciências, dispõe-se habitualmente de dados pontuais, obtidos a partir de uma amostragem ou experimento. Através da interpolação pode-se construir uma função que aproximadamente se “ajuste” nestes dados pontuais.
Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja muito complicada para avaliar de forma eficiente. Podemos então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolar estes dados para construir uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.
A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função apenas conhecendo algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens). A função resultante passa nos pontos fornecidos e, em relação aos outros pontos, pode ser um mero ajuste.

2. INTERPOLAÇÃO LINEAR

Dados dois pontos distintos de uma função e , deseja-se calcular o valor de para um determinado valor de entre e , usando interpolação polinomial.
O grau do polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos. Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é,

Para determiná-lo, basta resolver o sistema linear abaixo

onde e são as incógnitas e é a matriz dos coeficientes.
O determinante da matriz A é diferente de zero, sempre que , logo para pontos distintos o sistema tem solução única.
Por outro lado,