Geração y

Módulo 2

Cálculo Integral

Função primitiva

de derivada é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma

Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cálculo diferencial, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. É importante temática antes de prosseguir seus estudos. Não esqueça conte com o Sistema de auxiliar-lo nas suas dúvidas.

derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos

Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I , se para todo x I , tem-se F '(x) f (x) .

Vejamos alguns exemplos. Exemplo 7.1 A função F (x) pois F '(x) 5 x4 5 x5 é uma primitiva da função f (x) 5 x4 f (x) , x ° x4 ,

x5 x5 Exemplo 7.2 As funções T (x) 9 , H (x) 2 também são 5 5 4 primitivas da função f (x) x , poisT '(x) H '(x) f (x) .
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Exemplo 7.3 A função F (x) f (x) e
3x

e

3x

, pois

3

é uma primitiva da função

3 e 3x F '(x) e 3x 1 f (x) , x ° . 3 Exemplo 7.4 A função F (x) x x 2 é uma primitiva da função 1 f (x) , pois 2 x 1 1 1 2 1 1 1 1 1 F '(x) x x 2 f (x) , x 0 . 1 2 2 2 2 x x2 Observação Seja I um intervalo em ° . Se F : I ° é uma primitiva de f :I ° , então para qualquer constante real k , a função G(x) dada por G(x) F (x) k é também uma primitiva de f (x) .

Se F ,G : I ° são primitivas de f : I ° , então existe uma constante real k , tal queG(x) F (x) k , para todo x I . Exemplo 7.5 Sabemos que sen x ' é uma primitiva da função f (x) f (x) cos x é do tipo G(x) sen x cos x . Assim, F (x) k para k °. sen x 3 são 4 sen x

cos x e toda primitiva da função

Assim,G1 (x)

sen x 10 , G2 (x)

sen x 50 e G3 (x) cos x , pois cos x f (x) .

todas primitivas da função f (x)

` G1` (x) G2 (x) G3` (x)

Exemplo 7. 6 E n c o n t ra r u m a p r i m it iva F (x) , d a f u n ç ã o f (x) 2x 3 4x 2 4. F '(x) f (x) 5x 1, para todo x ° , que satisfaça a