Geometria Espacial e Plana

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Geometria Espacial e Plana

a² = b² + c²

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Geometria Espacial
1) Poliedros convexos
Observe os sólidos abaixo cujas faces são polígonos convexos.

Podemos observar que:
a) Cada aresta é comum a duas e somente a duas faces
b) Duas faces nunca estão num mesmo plano
c) O plano de cada face deixa as demais faces no mesmo semi-espaço.
Aos sólidos que satisfazem essas condições chamamos poliedros convexos.
Assim, um poliedro possui
 Faces (são polígonos convexos)
 Arestas (são os lados do polígono)
 Vértices (são os vértices do polígono)
 Superfície (é a união das faces do poliedro)

1.1)

Classificação

Classificamos um poliedro de acordo com o número de faces. O número mínimo de faces de um poliedro convexo são quatro.
Veja alguns exemplos:
 Tetraedro : 4 faces
 Pentaedro : 5 faces
 Hexaedro : 6 faces
 Heptaedro : 7 faces
 Octasedro : 8 faces
 Decaedro : 10 faces
 Dodecaedro : 12 faces
 Icosaedro: 20 faces

1.2)

Teorema de Euler

Num poliedro convexo, se V, A e F são os números respectivamente, de vértices, de arestas e de faces, então vale a seguinte relação:

V  A F  2
Veja:
Poliedro convexo
Hexaedro
Heptaedro
Decaedro
Dodecaedro

V
8
10
12
20

A
12
15
20
30

F
6
7
10
12

V - A+ F
8 – 12 – 6 = 2
10 – 15 + 7 = 2
12 – 20 + 10 = 2
20 – 30 +12 = 2

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1.3)

Poliedros regulares

Um poliedro é regular se, e somente se, forem obedecidas as seguintes condições:
 Todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si
 Todos os seus ângulos poliédricos são congruentes entre si.
Exemplos
a) Um poliedro convexo tem 22 arestas. O número de vértices é igual ao número de faces. Calcular o número de vértices desse poliedro
Soluçao:
apenas utilizando a formula resolvera o exercício logo V – A + F = 2 como o numero de vértices é igual ao numero de faces temos:
2V – A = 2,
2V = 2 + 22,
V = 12
b) Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e